Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2024

Funções trigonométricas: amplitude, deslocamento e imagem

Gabarito: letra D — estão corretas as afirmações dos estudantes 1, 2 e 4. A função $h(x) = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ tem amplitude 2 (o dobro da amplitude 1 de $f(x) = \sin x$), sofre deslocamento horizontal de $\frac{\pi}{2}$ unidades para a esquerda (por causa do $+\frac{\pi}{2}$ no argumento) e tem imagem $[-2, 2]$; a afirmação 3 erra ao tratar o coeficiente $-2$ como deslocamento vertical, quando na verdade ele é o fator que multiplica a amplitude e reflete o gráfico no eixo x.

A questão cobra a leitura dos parâmetros da função seno generalizada $g(x) = A\sin(Bx + C) + D$. Cada parâmetro tem um papel geométrico bem definido: o coeficiente $A$ (chamado amplitude) estica ou comprime o gráfico verticalmente e, se negativo, reflete-o em relação ao eixo x; o termo $+C$ dentro do argumento desloca o gráfico horizontalmente (para a esquerda se $C > 0$, para a direita se $C < 0$); e o termo $+D$ fora do seno desloca o gráfico verticalmente (para cima se $D > 0$, para baixo se $D < 0$). A imagem da função é sempre o intervalo $[-|A| + D, |A| + D]$.

No caso concreto, $f(x) = \sin x$ tem amplitude 1 e imagem $[-1, 1]$. Já $h(x) = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ tem amplitude $|{-2}| = 2$, o que dobra a imagem para $[-2, 2]$; o sinal negativo apenas inverte o gráfico (o que estava em cima vai para baixo e vice-versa), mas não altera a amplitude nem a imagem. O deslocamento horizontal é dado pelo termo $+\frac{\pi}{2}$ no argumento: como é uma soma, o gráfico se move para a esquerda em $\frac{\pi}{2}$ unidades. Não há termo $+D$ fora do seno, então não há deslocamento vertical — é exatamente o erro do Estudante 3, que confunde o coeficiente multiplicativo $-2$ com um deslocamento vertical.

Para visualizar, compare os gráficos das duas funções no mesmo plano cartesiano:

A pegadinha central é distinguir o que cada parâmetro faz: o coeficiente que multiplica o seno ($A$) controla a amplitude e a reflexão, enquanto o termo somado ao argumento ($C$) controla o deslocamento horizontal, e o termo somado fora ($D$) controla o deslocamento vertical. O Estudante 3 misturou essas funções, tratando o $-2$ como se fosse um $D$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os estudantes 1 e 2 estão corretos. O Estudante 4 também está correto: a imagem de $f(x) = \sin x$ é $[-1, 1]$ e a de $h(x) = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ é $[-2, 2]$, pois a amplitude é $|{-2}| = 2$. A alternativa exclui uma afirmação verdadeira, então está errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os estudantes 1 e 3 estão corretos. O Estudante 3 está errado: o parâmetro $-2$ não provoca deslocamento vertical de duas unidades para baixo; ele é a amplitude (com reflexão). O deslocamento vertical só ocorreria se houvesse um termo somado fora do seno (o $D$ em $g(x) = A\sin(Bx + C) + D$), o que não é o caso. Como inclui uma afirmação falsa, a alternativa está incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os estudantes 2 e 3 estão corretos. O Estudante 3 está errado (como explicado na alternativa B), e o Estudante 1 também está correto: a amplitude de $h(x)$ é 2, o dobro da amplitude 1 de $f(x)$. A alternativa exclui uma afirmação verdadeira e inclui uma falsa, então está incorreta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Estão corretas as afirmações dos estudantes 1, 2 e 4. O Estudante 1 acerta ao dizer que a amplitude de $h(x)$ é o dobro da de $f(x)$: $|{-2}| = 2$ contra $1$. O Estudante 2 acerta ao dizer que o gráfico de $h(x)$ se desloca $\frac{\pi}{2}$ unidades para a esquerda em relação a $f(x)$, pois o argumento é $x + \frac{\pi}{2}$. O Estudante 4 acerta ao afirmar que a imagem de $f(x)$ é $[-1, 1]$ e a de $h(x)$ é $[-2, 2]$, consequência direta da amplitude 2. A única afirmação falsa é a do Estudante 3, que confunde o coeficiente multiplicativo com deslocamento vertical.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que apenas os estudantes 2, 3 e 4 estão corretos. O Estudante 3 está errado (como explicado), e o Estudante 1 também está correto: a amplitude de $h(x)$ é o dobro da de $f(x)$. A alternativa exclui uma afirmação verdadeira e inclui uma falsa, então está incorreta.

Gabarito: letra D