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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg164462
Banca
FGV
Órgão
Pref SL da Mata
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
O proprietário de uma fazenda comprou um silo para armazenar ração para seu gado, como representado na figura a seguir. Cada m3 estoca, aproximadamente, 450 kg dessa ração. Considere π\pi=3. Disponível em: https://www.freepik.com/premium-vector/brewery-beer-production-isometric- set-isolated-icons-with-people-moving-bottle-boxes-industrial-jars-vector- illustration_26762511.htm#query=grain%20silo&position=48&from_view=keyword&track=ais_use r&uuid=42f04b37-93de-4e91-b736-f351035f0f60. Acesso em: 16.07.2024. Adaptado.   A capacidade de armazenamento de ração nesse silo, em tonelada, é de, aproximadamente,Imagem associada para resolução da questão
  1. A7,65.
  2. B8,10.
  3. C9,45.
  4. D15,30.
  5. E30,60.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 7,65.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 7,65 toneladas — alternativa A.

A ideia por trás

Um silo para grãos é um sólido composto: um cilindro (a parte de paredes retas) com um cone em cima (o teto que facilita o escoamento). Para saber quanto ele comporta, precisamos do volume total, que é a soma do volume das duas partes. Volume é a medida do espaço ocupado, em metros cúbicos (m³).

O volume de um cilindro é a área da base (πr²) vezes a altura: V_cil = πr²h. O volume de um cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura: V_cone = (1/3)πr²h. Depois, a massa de ração é o volume vezes a densidade (massa por unidade de volume), e tonelada é 1000 kg.

Esta questão pede para combinar esses dois volumes, aplicar a densidade e converter a massa para toneladas. O passo crítico é ler as dimensões corretas na figura: o cilindro tem 5 m de altura e o cone tem 2 m.

O que a questão dá

  • raio do cilindro e do cone = 1 m

  • altura do cilindro = 5 m

  • altura do cone = 2 m

  • densidade da ração = 450 kg/m³

  • π = 3

O que queremos: a capacidade de armazenamento do silo em toneladas

Passo 1 — Calcular o volume do cilindro

O silo é formado por duas partes: o cilindro embaixo e o cone em cima. Para saber o volume total, precisamos primeiro do volume de cada parte separadamente. O cilindro é a parte principal, com paredes retas.

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base circular (πr²) multiplicada pela altura. É a fórmula padrão para qualquer prisma ou cilindro.

Vcil=π⋅r2⋅hcilV_{cil} = \pi \cdot r^{2} \cdot h_{cil}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3 · rr = enunciado: 1 m · hcilh_{cil} = enunciado: 5 m (da figura)

Vcil=3⋅12⋅5=15 m3V_{cil} = 3 \cdot 1^{2} \cdot 5 = \boxed{15\ \text{m}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura do cone (2 m) no lugar da altura do cilindro (5 m) — isso daria volume errado.

Passo 2 — Calcular o volume do cone

O cone é a parte de cima do silo, que afunila. Ele tem a mesma base circular do cilindro, mas altura própria. Precisamos do volume dele para somar com o do cilindro.

Por que esta fórmula: O volume de um cone é um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura, porque o cone 'cabe' três vezes dentro do cilindro. Por isso a fórmula tem o fator 1/3.

Vcone=13⋅π⋅r2⋅hconeV_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^{2} \cdot h_{cone}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3 · rr = enunciado: 1 m · hconeh_{cone} = enunciado: 2 m (da figura)

Vcone=13⋅3⋅12⋅2=2 m3V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 1^{2} \cdot 2 = \boxed{2\ \text{m}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3 e calcular como se fosse cilindro — daria 6 m³, triplicando o volume.

Passo 3 — Somar os volumes para obter o total

O silo inteiro é a junção do cilindro e do cone. O volume total é a soma dos dois, pois não há sobreposição.

Por que esta fórmula: O volume de um sólido composto é a soma dos volumes das partes que o formam.

Vtotal=Vcil+VconeV_{total} = V_{cil} + V_{cone}

De onde vem cada valor: VcilV_{cil} = passo 1: 15 m³ · VconeV_{cone} = passo 2: 2 m³

Vtotal=15+2=17 m3V_{total} = 15 + 2 = \boxed{17\ \text{m}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar uma das partes — por exemplo, considerar só o cilindro.

Passo 4 — Calcular a massa de ração

O volume total nos diz quanto espaço há, mas a pergunta é sobre a massa de ração que cabe. A densidade relaciona volume e massa: cada metro cúbico comporta 450 kg.

Por que esta fórmula: A densidade (ou massa específica) é a massa por unidade de volume. Para achar a massa total, multiplicamos o volume pela densidade.

m=Vtotal⋅dm = V_{total} \cdot d

De onde vem cada valor: VtotalV_{total} = passo 3: 17 m³ · dd = enunciado: 450 kg/m³

m=17⋅450=7650 kgm = 17 \cdot 450 = \boxed{7650\ \text{kg}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a densidade como 4500 kg/m³ (erro de leitura) — daria 10 vezes mais.

Passo 5 — Converter quilogramas em toneladas

A resposta pede a capacidade em toneladas, não em quilogramas. Como 1 tonelada equivale a 1000 kg, precisamos dividir a massa por 1000.

Por que esta fórmula: A tonelada é uma unidade maior que o quilograma: 1 t = 1000 kg. Para converter de kg para t, divide-se por 1000.

mt=mkg1000m_{t} = \frac{m_{kg}}{1000}

De onde vem cada valor: mkgm_{kg} = passo 4: 7650 kg

mt=76501000=7,65 tm_{t} = \frac{7650}{1000} = \boxed{7{,}65\ \text{t}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 1000 em vez de dividir — daria 7.650.000 t, absurdo.

Resposta: 7,65 toneladas — alternativa A

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