Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164463

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a x = 56° — alternativa B.

A ideia por trás

Em uma circunferência, um ângulo central tem o vértice no centro e sua medida é igual à medida do arco que ele 'enxerga'. Já um ângulo inscrito tem o vértice na própria circunferência e seus lados são cordas; ele também 'enxerga' um arco, mas sua medida é sempre a metade desse arco. Essa é uma das relações mais importantes da geometria da circunferência.

A relação é: ângulo central = arco correspondente, e ângulo inscrito = metade do arco correspondente. Isso acontece porque o ângulo central 'abre' o arco diretamente, enquanto o ângulo inscrito, por estar na borda, 'enxerga' o mesmo arco de um ângulo menor. Essa propriedade vale para qualquer ângulo inscrito que intercepte o mesmo arco, independentemente de onde o vértice esteja na circunferência.

A questão dá o ângulo central BÔE = 112° e pede o ângulo inscrito BLE, que intercepta o mesmo arco BE. Basta aplicar a relação: o ângulo inscrito é a metade do ângulo central.

O que a questão dá

ponto O é o centro da circunferência
ponto L pertence à circunferência
ângulo central BÔE = 112° (medida indicada na figura)

O que queremos: a medida do ângulo inscrito BLE (x)

Passo 1 — Achar a medida do arco BE

O ângulo central BÔE tem o vértice no centro e seus lados passam por B e E, então ele determina exatamente o arco BE. Como o ângulo central mede 112°, o arco BE também mede 112° — essa é a definição de ângulo central.

Por que esta fórmula: A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele intercepta, por definição.

arco_{BE} = \angle B\hat{O}E

De onde vem cada valor: $\angle B\hat{O}E$ = enunciado: 112° (indicado na figura)

arco_{BE} = 112° = \boxed{112\ ^\circ}

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o arco é o dobro ou a metade do ângulo central — não, eles são iguais.

Passo 2 — Calcular o ângulo inscrito

Agora que sabemos que o arco BE mede 112°, podemos achar o ângulo inscrito BLE, que é a metade desse arco. Essa é a relação do teorema do ângulo inscrito.

Por que esta fórmula: O teorema do ângulo inscrito diz que a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele intercepta.

x = \frac{arco_{BE}}{2}

De onde vem cada valor: $arco_{BE}$ = passo 1: 112°

x = \frac{112°}{2} = \boxed{56\ ^\circ}

NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 2 em vez de dividir, obtendo 224°, ou usar o ângulo central diretamente como resposta (112°).

Resposta: x = 56° — alternativa B