Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — FGV 2024

Diagonal de um retângulo

Gabarito: letra D — a diagonal mede $10\sqrt{13}$ cm. O retângulo tem lados 20 cm e 30 cm (perímetro 100 cm, com um lado 10 cm maior que o outro), e a diagonal é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por esses lados, calculada pelo Teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13}$ cm.

O que a questão cobra

A questão combina dois conceitos básicos de Geometria Plana: o perímetro do retângulo e o Teorema de Pitágoras aplicado à sua diagonal. O retângulo é um quadrilátero com os quatro ângulos retos e lados opostos congruentes — ou seja, se um lado mede $x$, o lado adjacente mede $x + 10$ (já que um é 10 cm maior que o outro). O perímetro é a soma dos quatro lados: $2x + 2(x+10) = 100$. Resolvendo: $2x + 2x + 20 = 100 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20$ cm. Portanto, os lados são 20 cm e 30 cm.

A diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos retângulos congruentes, onde a diagonal é a hipotenusa e os lados do retângulo são os catetos. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos: $d^2 = 20^2 + 30^2 = 400 + 900 = 1300$. Extraindo a raiz: $d = \sqrt{1300}$. Fatorando 1300: $1300 = 100 \times 13 = 10^2 \times 13$, logo $d = 10\sqrt{13}$ cm.

A pegadinha clássica da banca aqui é não simplificar corretamente a raiz ou errar a montagem da equação do perímetro. Muitos candidatos montam $x + (x+10) = 100$ (esquecendo que o perímetro soma os quatro lados), o que daria $x = 45$ e lados 45 e 55 — levando a uma diagonal de $\sqrt{45^2 + 55^2} = \sqrt{5050}$, que não está nas alternativas. Outros montam corretamente mas erram a fatoração de $\sqrt{1300}$, marcando $10\sqrt{10}$ (que seria $\sqrt{1000}$) ou $25\sqrt{2}$ (que seria $\sqrt{1250}$).

Alternativa A — ❌ Incorreta

25 cm seria a diagonal de um retângulo de lados 15 cm e 20 cm (pois $\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$). Mas aqui os lados são 20 cm e 30 cm, não 15 e 20. Esse valor também não corresponde a nenhuma etapa intermediária do cálculo correto — é um distrator puro, provavelmente pensado para quem erra a equação do perímetro e obtém lados que geram uma diagonal próxima de 25.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$25\sqrt{2}$ cm é o resultado de $\sqrt{1250}$, que seria a diagonal de um retângulo de lados 25 cm e 25 cm (um quadrado). Mas o retângulo da questão tem lados 20 cm e 30 cm, não 25 e 25. Esse distrator explora a confusão entre o retângulo e o quadrado, ou um erro na resolução da equação do perímetro que leva a lados iguais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$10\sqrt{10}$ cm é o resultado de $\sqrt{1000}$, que seria a diagonal de um retângulo de lados 10 cm e 30 cm (pois $\sqrt{10^2 + 30^2} = \sqrt{1000}$). Esse valor surge se o candidato erra a equação do perímetro, obtendo um lado de 10 cm em vez de 20 cm. É um distrator que testa exatamente a montagem correta da equação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$10\sqrt{13}$ cm é o resultado correto. Os lados do retângulo são 20 cm e 30 cm (perímetro 100 cm, com um lado 10 cm maior que o outro). Pelo Teorema de Pitágoras: $d = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = \sqrt{100 \times 13} = 10\sqrt{13}$ cm. A fatoração de 1300 em $100 \times 13$ é o passo-chave para chegar à forma simplificada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

50 cm seria a diagonal de um retângulo de lados 30 cm e 40 cm (pois $\sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{2500} = 50$). Esse valor também é o dobro do lado maior (30 cm × 2 = 60 cm, não 50), então não corresponde a nenhuma relação direta com os dados. É um distrator que explora a confusão entre diagonal e perímetro, ou entre diagonal e soma dos lados.

Gabarito: letra D — a diagonal mede $10\sqrt{13}$ cm, obtida pelo Teorema de Pitágoras aplicado aos lados de 20 cm e 30 cm do retângulo.