Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164466

MatemáticaOutros Tópicos e Questões Mescladas sobre Polígonos

Código: fg164466
Banca: FGV
Órgão: Pref SL da Mata
Ano: 2024

Cargo: Prof ( )

Um professor propôs a seguinte atividade, que envolve Modelagem Matemática em sequência de figuras.

Analise a resposta dos estudantes a seguir:

Estudante	Resposta:
Ana	A figura 1 tem 1 hexágono, a figura 2 tem 2, então, a figura 10 terá 10 hexágonos. Portanto, o perímetro é 10 x 6 x 12cm = 720 cm.
Carol	A figura 1 tem 1 hexágono, a figura 2 tem 2 hexágonos, e eu devo retirar um lado do meio, na figura 3 devo retirar dois lados no meio, portanto na figura 10 eu elimino 9 lados do interior da figura. Assim, o perímetro é (10 x 6 – 9) x 12 cm = 612 cm
Danilo	A figura 1 tem 1 hexágono, a figura 2 tem 2 hexágonos, e eu elimino dois lados da parte interna, portanto na figura 10 são eliminados 10 lados da parte interna. Logo, o perímetro é (10 x 6 – 10) x 12 cm = 600 cm.
Gustavo	A figura 1 é 1 hexágono, a figura 2 tem 2 hexágonos, e eu retiro dois lados do meio, na figura 3 preciso retirar 2 x 2 lados no meio e, na figura 10 eu vou eliminar 9 x 2 lados do interior da figura. Para determinar o perímetro, calculo (10 x 6 – 9 x 2) x 12 cm = 504 cm.
Túlio	A figura 1 tem 1 hexágono, a figura 2 é formada por 2 hexágonos e devo retirar dois lados do interior da figura, e a figura 10 será formada por 10 hexágonos e serão retirados 10 x 2 lados do interior da figura. Assim, o perímetro é (10 x 6 – 10 x 2) x 12 cm = 480 cm.

Apenas um aluno acertou e, para corrigir desvios de aprendizagem, o professor deverá mostrar a

AAna, Carol, Danilo e Túlio que, para determinar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve-se considerar a quantidade de hexágonos, multiplicar por 6 e subtrair 2(n-1) lados da parte interna, sendo que n representa a ordem da figura.
BAna, Carol, Danilo e Gustavo que, para determinar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve- se contar a quantidade de hexágonos, multiplicar por 6 e subtrair 2n lados da parte interna, sendo que n representa a ordem da figura.
CAna, Carol, Gustavo e Túlio que, para determinar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve-se contar a quantidade de hexágonos, multiplicar por 6 e subtrair n lados da parte interna, sendo que n representa a ordem da figura.
DAna, Danilo, Gustavo e Túlio que, para determinar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve- se contar a quantidade de hexágonos, multiplicar por 6 e subtrair (n-1) lados da parte interna, sendo que n representa a ordem da figura.
ECarol, Danilo, Gustavo e Túlio que, para contar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve-se contar a quantidade de hexágonos e multiplicar por 6.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — Ana, Carol, Danilo e Túlio que, para determinar a quantidade de lados de cada figura, a partir da figura 2, deve-se considerar a quantidade de hexágonos, multiplicar por 6 e subtrair 2(n-1) lados da parte interna, sendo que n representa a ordem da figura.

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Perímetro de figuras formadas por hexágonos

Gabarito: letra A. O único aluno que acertou foi Gustavo, que percebeu que, a partir da figura 2, cada hexágono adicional compartilha um lado com o anterior, eliminando 2 lados internos por junção. Para a figura de ordem $n$ , o perímetro é dado por $(6n - 2(n-1)) \times 12$ cm, o que para $n=10$ resulta em $(60 - 18) \times 12 = 504$ cm. A alternativa A é a única que aponta Gustavo como correto e descreve corretamente a regra de subtrair $2(n-1)$ lados internos.

O que a questão realmente cobra

A atividade envolve modelagem matemática: a partir de uma sequência de figuras formadas por hexágonos regulares justapostos, o aluno deve generalizar o padrão para calcular o perímetro de uma figura de ordem $n$ . O ponto central é entender que, quando dois hexágonos são unidos por um lado comum, esse lado deixa de fazer parte do contorno da figura composta. Assim, cada junção entre dois hexágonos elimina 2 lados do perímetro total (um de cada hexágono).

Vamos analisar a sequência:

Figura 1: 1 hexágono → perímetro = $6 \times 12 = 72$ cm.
Figura 2: 2 hexágonos unidos por 1 lado → lados externos = $6 \times 2 - 2 = 10$ → perímetro = $10 \times 12 = 120$ cm.
Figura 3: 3 hexágonos em linha → 2 junções → lados externos = $6 \times 3 - 2 \times 2 = 14$ → perímetro = $14 \times 12 = 168$ cm.

Generalizando, para a figura de ordem $n$ , há $n-1$ junções entre hexágonos consecutivos, cada uma eliminando 2 lados. Portanto:

\text{Lados externos} = 6n - 2(n-1)

E o perímetro é:

P = [6n - 2(n-1)] \times 12

Para $n=10$ :

P = [60 - 2 \times 9] \times 12 = [60 - 18] \times 12 = 42 \times 12 = 504 \text{ cm}

Esse é exatamente o cálculo que Gustavo apresentou. Os demais alunos erraram ao não considerar corretamente a quantidade de lados internos eliminados:

Ana não subtraiu nenhum lado interno, tratando cada hexágono como isolado.
Carol subtraiu apenas 1 lado por junção (em vez de 2), subestimando a eliminação.
Danilo subtraiu 2 lados por junção, mas usou $n$ junções em vez de $n-1$ .
Túlio também usou $n$ junções, resultando em subtração excessiva.

A alternativa A é a única que identifica Gustavo como o aluno correto e apresenta a regra geral correta: multiplicar o número de hexágonos por 6 e subtrair $2(n-1)$ lados internos.

Análise das alternativas

Caso	Atribuição (n = ordem da figura)	Resultado
Ana	Lados = 6n, sem subtração	720 cm (errado)
Carol	Lados = 6n − (n−1)	612 cm (errado)
Danilo	Lados = 6n − 2n	600 cm (errado)
Gustavo	Lados = 6n − 2(n−1)	504 cm (correto)
Túlio	Lados = 6n − 2n	480 cm (errado)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa aponta Ana, Carol, Danilo e Túlio como os alunos que precisam de correção, deixando Gustavo como o único que acertou. A regra descrita — multiplicar a quantidade de hexágonos por 6 e subtrair $2(n-1)$ lados internos — é exatamente a generalização correta do padrão. Para $n=10$ , isso resulta em $6 \times 10 - 2 \times 9 = 42$ lados externos, e o perímetro de $42 \times 12 = 504$ cm, que é o valor encontrado por Gustavo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B inclui Gustavo entre os alunos que erraram, o que é falso, pois ele acertou. Além disso, a regra proposta — subtrair $2n$ lados internos — está incorreta, pois para $n=10$ resultaria em $60 - 20 = 40$ lados, perímetro de 480 cm, que corresponde ao erro de Túlio, não ao valor correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C também inclui Gustavo como errado e propõe subtrair apenas $n$ lados internos. Essa regra subestima a eliminação de lados, resultando em $60 - 10 = 50$ lados para $n=10$ , perímetro de 600 cm, que é o erro de Danilo. Além disso, exclui Danilo da lista de alunos que erraram, o que é incorreto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D inclui Gustavo como errado e propõe subtrair $(n-1)$ lados internos. Essa regra também subestima a eliminação, resultando em $60 - 9 = 51$ lados para $n=10$ , perímetro de 612 cm, que é o erro de Carol. Além disso, exclui Carol da lista de alunos que erraram, o que é incorreto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E exclui Gustavo da lista de alunos que erraram, mas também exclui Ana, que errou ao não subtrair nenhum lado interno. Além disso, a regra proposta — apenas multiplicar o número de hexágonos por 6 — ignora completamente a eliminação de lados internos, o que levaria a um perímetro de 720 cm para $n=10$ , o erro de Ana. Essa alternativa não identifica corretamente nem os alunos que erraram nem a regra correta.

Conclusão

A questão testa a capacidade de generalizar padrões em sequências geométricas. O erro mais comum é não perceber que cada junção entre hexágonos elimina 2 lados do contorno, e que o número de junções é $n-1$ , não $n$ . A alternativa A é a única que acerta tanto na identificação do aluno correto (Gustavo) quanto na regra geral.

Gabarito: letra A

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