Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Matrizes: construção e transposição

Gabarito: letra D. A matriz $A$ é $3 \times 2$ e, aplicando a lei de formação $a_{ij}$ (com as três condições: $i<j$, $i=j$, $i>j$), obtemos $A = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 7 & 8 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}$. Sua transposta $A^t$ é a matriz $2 \times 3$ que se obtém trocando linhas por colunas: $A^t = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 11 \\ 8 & 8 & 10 \end{pmatrix}$ — exatamente a alternativa D.

O conceito central aqui é a matriz transposta: dada uma matriz $A$ de ordem $m \times n$, sua transposta $A^t$ é a matriz de ordem $n \times m$ em que as linhas de $A$ viram colunas (e vice-versa). Em termos de elementos, se $A = (a_{ij})$, então $A^t = (b_{ji})$ com $b_{ji} = a_{ij}$ — ou seja, o elemento da linha $i$, coluna $j$ de $A$ passa a ocupar a linha $j$, coluna $i$ em $A^t$. É uma operação simples, mas que exige cuidado na hora de aplicar a lei de formação: primeiro você constrói a matriz original, e só depois transpõe.

Vamos construir $A$ passo a passo. A matriz é $3 \times 2$, então $i$ varia de 1 a 3 (linhas) e $j$ varia de 1 a 2 (colunas). A lei de formação tem três ramos:

• Se $i < j$: $a_{ij} = 2i + 3j$ (elementos acima da diagonal, mas como a matriz não é quadrada, isso só ocorre em $a_{12}$);

• Se $i = j$: $a_{ij} = 2ij$ (elementos da diagonal principal: $a_{11}$ e $a_{22}$);

• Se $i > j$: $a_{ij} = 4i - j$ (elementos abaixo da diagonal: $a_{21}$, $a_{31}$ e $a_{32}$).

Calculando cada elemento:

• $a_{11}$: $i = j = 1$ → $a_{11} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

• $a_{12}$: $i = 1 < j = 2$ → $a_{12} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$

• $a_{21}$: $i = 2 > j = 1$ → $a_{21} = 4 \cdot 2 - 1 = 8 - 1 = 7$

• $a_{22}$: $i = j = 2$ → $a_{22} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

• $a_{31}$: $i = 3 > j = 1$ → $a_{31} = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$

• $a_{32}$: $i = 3 > j = 2$ → $a_{32} = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

Portanto, $A = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 7 & 8 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}$. Agora, a transposta: a primeira linha de $A$ (2, 8) vira a primeira coluna de $A^t$; a segunda linha (7, 8) vira a segunda coluna; a terceira linha (11, 10) vira a terceira coluna. Resultado: $A^t = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 11 \\ 8 & 8 & 10 \end{pmatrix}$.

A pegadinha clássica deste tipo de questão é inverter o papel das linhas e colunas na transposição — por exemplo, manter a matriz na ordem original ou transpor de forma incorreta (trocando colunas por linhas de maneira errada). Outra armadilha é errar a aplicação da lei de formação, especialmente nos casos em que $i = j$ (usar a fórmula errada) ou inverter as condições $i < j$ e $i > j$. Guarde o passo a passo: construir a matriz original com a lei de formação → só depois transpor — é exatamente nessa sequência que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 7 & 8 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}$, que é a própria matriz $A$, não sua transposta. O erro é não ter realizado a transposição: as linhas de $A$ foram mantidas como linhas, quando deveriam virar colunas. A transposta de uma matriz $3 \times 2$ é sempre $2 \times 3$, e esta alternativa mantém a dimensão original.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 8 & 8 \\ 11 & 13 \end{pmatrix}$, uma matriz $3 \times 2$ que mistura elementos corretos com errados. O elemento $a_{32}$ foi calculado como 13, mas o correto é $a_{32} = 4 \cdot 3 - 2 = 10$ (regra $i > j$). Além disso, a matriz não foi transposta — permanece $3 \times 2$. Há dois erros: cálculo incorreto de um elemento e ausência da transposição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\begin{pmatrix} 1 & 7 & 11 \\ 8 & 4 & 10 \end{pmatrix}$, uma matriz $2 \times 3$ que já tem a dimensão correta da transposta, mas com elementos trocados. O primeiro elemento deveria ser $a_{11} = 2$ (não 1), e o elemento da segunda linha, segunda coluna deveria ser $a_{22} = 8$ (não 4). Parece uma transposição feita a partir de uma matriz $A$ construída com erros na lei de formação — por exemplo, usando $a_{11} = 1$ e $a_{22} = 4$, que não correspondem a nenhuma das fórmulas dadas.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\begin{pmatrix} 2 & 7 & 11 \\ 8 & 8 & 10 \end{pmatrix}$, que é exatamente a transposta de $A = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 7 & 8 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}$. Cada linha de $A$ virou coluna em $A^t$: a primeira linha (2, 8) virou a primeira coluna; a segunda (7, 8) virou a segunda coluna; a terceira (11, 10) virou a terceira coluna. A dimensão $2 \times 3$ confirma a transposição correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\begin{pmatrix} 2 & 8 & 11 \\ 7 & 8 & 13 \end{pmatrix}$, uma matriz $2 \times 3$ com a dimensão correta, mas com elementos trocados. O elemento da primeira linha, segunda coluna deveria ser 7 (não 8), e o elemento da segunda linha, terceira coluna deveria ser 10 (não 13). Esta alternativa parece ter sido construída transpondo uma matriz $A$ com erros: $a_{12}$ foi tratado como 8 (em vez de 7) e $a_{32}$ como 13 (em vez de 10).

A regra de ouro para levar à prova: construa a matriz original com calma, aplicando cada condição da lei de formação ao elemento certo, e só então faça a transposição trocando linhas por colunas. A dimensão da transposta ($n \times m$) é um ótimo verificador — se a alternativa não tem a dimensão invertida, ela já está errada.

Gabarito: letra D