Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — FGV 2024

Equação do 2º grau e antecessor de número inteiro

Gabarito: letra E — as intervenções adequadas são I, II e IV. A equação $x^2 - 4x = 12$ tem raízes $6$ e $-2$; como o enunciado pede o número inteiro negativo T, temos $T = -2$, e o antecessor de $-2$ é $-3$. Assim, quem respondeu $-3$ acertou; quem respondeu $-2$ achou T mas não o antecessor; quem respondeu $-7$ provavelmente inverteu os sinais das raízes (achou $-6$ e $2$, tomando $-6$ como T e $-7$ como antecessor); e quem respondeu $5$ ou $-1$ errou o conceito de antecessor (confundiu com sucessor ou com outra operação). A intervenção III está incorreta porque atribui a quem respondeu $-3$ um erro de inversão de sinais, quando na verdade $-3$ é a resposta correta.

Vamos entender o problema por partes. Primeiro, a equação: $x^2 - 4x = 12$. Para resolvê-la, passamos tudo para um lado: $x^2 - 4x - 12 = 0$. Agora temos uma equação do 2º grau na forma $ax^2 + bx + c = 0$, com $a = 1$, $b = -4$ e $c = -12$. Podemos resolver por Bhaskara ou por fatoração. Fatorando: procuramos dois números que somados dão $-4$ e multiplicados dão $-12$. Esses números são $6$ e $-2$, pois $6 + (-2) = 4$ e $6 \times (-2) = -12$. Espera — a soma deve ser $-4$, não $4$. Então os números são $-6$ e $2$: $-6 + 2 = -4$ e $-6 \times 2 = -12$. Assim, a equação fatorada é $(x - 6)(x + 2) = 0$, e as raízes são $x = 6$ e $x = -2$. Confira com Bhaskara: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$; $x = \frac{4 \pm 8}{2}$, logo $x_1 = 6$ e $x_2 = -2$. As raízes são $6$ e $-2$.

O enunciado diz que T é o número inteiro negativo que é raiz. Entre $6$ e $-2$, o negativo é $-2$. Portanto, $T = -2$. Agora, o que é antecessor? O antecessor de um número inteiro é o número que vem imediatamente antes dele na reta numérica, ou seja, é o número menos 1. O antecessor de $-2$ é $-2 - 1 = -3$. O sucessor, por outro lado, é o número que vem depois, ou seja, o número mais 1: o sucessor de $-2$ é $-1$. Essa distinção é crucial e é exatamente o que a questão explora.

Agora vamos analisar cada resposta dada pelos alunos e qual erro ela revela:

Agora, vejamos cada intervenção proposta pelo professor:

• Intervenção I: Para quem respondeu $5$ ou $-1$, retomar o conceito de antecessor. Quem respondeu $5$ pode ter usado a raiz positiva $6$ e subtraído 1; quem respondeu $-1$ usou o sucessor de $-2$. Ambos os casos indicam falta de domínio do conceito de antecessor (ou de qual raiz usar). A intervenção é adequada.

• Intervenção II: Para quem respondeu $-2$, propor releitura da atividade para identificar o que é solicitado. Esses alunos acharam T corretamente, mas não calcularam o antecessor. A intervenção é adequada, pois o problema está na interpretação do que se pede.

• Intervenção III: Para quem respondeu $-3$, retomar as formas de resolução da equação do 2º grau, pois inverteram os sinais das raízes. Isso está errado: $-3$ é a resposta correta. Não há erro de inversão de sinais; o aluno acertou. A intervenção é inadequada.

• Intervenção IV: Para quem respondeu $-7$, retomar as formas de resolução da equação do 2º grau, pois inverteram os sinais das raízes. Quem respondeu $-7$ provavelmente resolveu a equação errada, obtendo raízes $-6$ e $2$ (invertendo os sinais de $6$ e $-2$), e então tomou $T = -6$ e calculou o antecessor $-7$. A intervenção é adequada.

Portanto, as intervenções adequadas são I, II e IV, o que corresponde à alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas I e II são adequadas. Deixa de fora a intervenção IV, que é adequada para os alunos que responderam $-7$, pois eles inverteram os sinais das raízes ao resolver a equação.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas I e III são adequadas. Inclui a intervenção III, que é inadequada, pois os alunos que responderam $-3$ acertaram a questão; e exclui a intervenção IV, que é adequada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que apenas II e IV são adequadas. Deixa de fora a intervenção I, que é adequada para os alunos que responderam $5$ ou $-1$, pois eles demonstram não dominar o conceito de antecessor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que I, II e III são adequadas. Inclui a intervenção III, que é inadequada, pois os alunos que responderam $-3$ acertaram a questão.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que I, II e IV são adequadas. A intervenção I é adequada para quem errou o conceito de antecessor (respostas $5$ e $-1$); a II é adequada para quem achou T mas não o antecessor (resposta $-2$); e a IV é adequada para quem inverteu os sinais das raízes (resposta $-7$). A intervenção III é inadequada porque $-3$ é a resposta correta.

Gabarito: letra E