Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — FGV 2024

Dízimas periódicas e a representação decimal infinita

Gabarito: letra A. A explicação correta é que a representação decimal de uma dízima periódica é infinita, e a calculadora apresentou apenas uma aproximação (parte) dessa representação. O número 1/3 = 0,333... tem infinitas casas decimais; a calculadora exibiu 0,33333333 (uma aproximação truncada), e ao multiplicar por 3 obteve 0,99999999, que é menor que 1 — não porque a matemática falhou, mas porque a representação exibida não é o número exato.

O problema central desta questão é a distinção entre a representação decimal exata de um número racional e a representação aproximada que uma calculadora (ou qualquer dispositivo com capacidade finita de armazenamento) consegue exibir. Quando dividimos 3 por 4, obtemos 0,75 — um decimal exato, com número finito de casas decimais. A calculadora exibe 0,75 e, ao multiplicar por 4, retorna exatamente 3, pois 0,75 × 4 = 3, sem perda de informação.

Já na divisão 1 ÷ 3, o quociente é a dízima periódica 0,333333... — um número com infinitas casas decimais que se repetem. A calculadora, por limitação de memória, exibe apenas uma quantidade finita de algarismos (no caso, 0,33333333, com 8 casas). Esse valor exibido é uma aproximação do número real 1/3, não o número em si. Ao multiplicar essa aproximação por 3, o resultado é 0,99999999, que é ligeiramente menor que 1. A diferença (0,00000001) é exatamente o erro acumulado pela truncagem da representação decimal.

É importante notar que, matematicamente, 0,999... (com infinitos noves) é igual a 1. A confusão do estudante surge porque a calculadora não exibe os infinitos noves — ela exibe uma quantidade finita deles. Se a calculadora pudesse exibir 0,333... com infinitas casas, ao multiplicar por 3 obteríamos 0,999... = 1. Mas como ela trunca em 0,33333333, o produto é 0,99999999 < 1.

A pegadinha que a banca explora é justamente essa: o aluno pode achar que a calculadora "errou" ou que a matemática está inconsistente. Na verdade, a matemática está correta — o que ocorre é uma limitação prática do dispositivo em representar números com infinitas casas decimais. A alternativa A captura exatamente essa ideia: a representação decimal da dízima é infinita, e a calculadora mostrou apenas uma parte dela.

Guarde este critério para analisar as alternativas: a questão trata da natureza infinita da representação decimal de certos números racionais e da aproximação que dispositivos de cálculo fazem. As alternativas que atribuem o erro à calculadora, ao arredondamento ou à necessidade de equipamento melhor estão todas equivocadas — o fenômeno é matemático, não técnico.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa está correta porque descreve com precisão o fenômeno. A dízima periódica 0,333... tem representação decimal infinita. A calculadora, por limitação de memória, exibiu apenas os primeiros 8 algarismos (0,33333333), que é uma aproximação truncada do valor exato. Ao multiplicar essa aproximação por 3, o resultado é 0,99999999, que é menor que 1 — não por erro de cálculo, mas porque a representação exibida não é o número exato 1/3. A alternativa A explica exatamente isso: "a representação decimal de uma dízima periódica é infinita, e a calculadora apresentou somente parte da representação do quociente obtido nessa divisão".

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o estudante deveria usar a calculadora para verificar a relação entre multiplicação e divisão "somente quando a divisão for exata". Isso é falso: a relação entre multiplicação e divisão é válida para todos os números racionais, inclusive para dízimas periódicas. O problema não está na relação matemática, mas na representação decimal aproximada. A divisão 1 ÷ 3 não é "inexata" no sentido matemático — ela tem um quociente exato (1/3), apenas sua representação decimal é infinita. A alternativa confunde "divisão exata" (que resulta em decimal finito) com "divisão que pode ser verificada na calculadora", o que é um erro conceitual.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Diz que a calculadora não é adequada e que o estudante deveria usar um equipamento de melhor qualidade. Isso é incorreto: nenhuma calculadora, por mais sofisticada, consegue exibir uma dízima periódica com infinitas casas decimais. Mesmo computadores de alta precisão representam números com um número finito de dígitos (limitado pela memória). O fenômeno não é uma falha do equipamento, mas uma limitação inerente à representação decimal finita de números com expansão decimal infinita. A alternativa C atribui o problema a uma causa técnica, quando a causa é matemática.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "há calculadoras de computadores que são capazes de exibir toda a representação decimal do quociente obtido nessa divisão". Isso é falso: é impossível exibir uma quantidade infinita de algarismos em qualquer dispositivo físico. Mesmo que um computador pudesse calcular milhões de casas decimais de 1/3, nunca exibiria "todas" — pois são infinitas. A alternativa D confunde a capacidade de calcular muitas casas decimais com a capacidade de exibir todas, o que é logicamente impossível.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que o resultado foi "arredondado para menos" e que o arredondamento deveria ter sido "para mais". Isso é incorreto por dois motivos. Primeiro, a calculadora não arredondou — ela truncou (cortou) a representação decimal em 0,33333333. Arredondar 0,333... para 8 casas decimais daria 0,33333333 (pois o 9º algarismo é 3, menor que 5, então arredonda-se para baixo). Segundo, mesmo que arredondasse "para mais" (0,33333334), ao multiplicar por 3 obteríamos 1,00000002, que é maior que 1 — o problema não se resolve com arredondamento, pois qualquer representação finita de 1/3, ao ser multiplicada por 3, não resultará exatamente em 1. A alternativa E não compreende que o erro é inerente à representação finita, não ao sentido do arredondamento.

Gabarito: letra A