Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2024
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg164476
Banca
FGV
Órgão
Pref SL da Mata
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
A turma do 4o ano organizou a tabela abaixo com a professora de Matemática para que todos soubessem o que haveria na festinha de São João.
COMIDAS
DOCES
BEBIDAS
Cuscuz
Pé-de-moleque
Suco
Milho
Paçoca
Refrigerante
Pastel
Quebra-queixo
Pipoca
A professora aproveitou o momento para ensinar aos estudantes como era possível fazer várias combinações com as opções da tabela e lançou um desafio, perguntando de quantas maneiras diferentes uma criança poderia combinar o pedido de uma comida, um doce e uma bebida, sem repetir nenhum item. Juntos, chegaram em qual quantidade de possibilidades?
A3.
B9.
C24.
D27.
E60.
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GabaritoC — 24.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 24 maneiras diferentes — alternativa C.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é a ferramenta básica para contar possibilidades quando uma escolha é feita em etapas. Ele diz que, se uma primeira decisão tem p₁ opções, uma segunda tem p₂, e assim por diante, o total de combinações é o produto p₁ × p₂ × … — porque cada opção de uma etapa pode ser combinada com todas as opções das outras.
A regra é multiplicar as quantidades de opções de cada etapa independente. Por exemplo, se você tem 2 camisas e 3 calças, há 2 × 3 = 6 combinações de roupa. O resultado cresce rápido: adicionar uma opção em uma etapa multiplica o total pela nova quantidade. Isso vale quando as escolhas são independentes e a ordem não importa para o resultado final.
Esta questão pede exatamente isso: escolher um item de cada uma das três categorias (comida, doce, bebida). Como cada escolha é independente, basta multiplicar o número de opções de cada categoria.
O que queremos: o número total de maneiras de escolher uma comida, um doce e uma bebida
Passo 1 — Contar as opções de comida
Antes de multiplicar, precisamos saber quantas escolhas existem em cada etapa. A tabela lista as comidas: Cuscuz, Milho, Pastel e Pipoca — são 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Contar apenas 3 comidas, esquecendo a Pipoca.
Passo 2 — Contar as opções de doce
A segunda etapa é escolher um doce. A tabela mostra Pé-de-moleque, Paçoca e Quebra-queixo — são 3 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Incluir algum item que não é doce, como o Cuscuz.
Passo 3 — Contar as opções de bebida
A terceira etapa é escolher uma bebida. A tabela lista Suco e Refrigerante — são 2 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que há duas bebidas e contar apenas uma.
Passo 4 — Multiplicar as quantidades de cada etapa
Agora que sabemos quantas opções há em cada categoria, aplicamos o princípio fundamental da contagem: como cada escolha é independente, o total de combinações é o produto das quantidades. Isso porque para cada comida podemos escolher qualquer doce, e para cada par comida-doce podemos escolher qualquer bebida.
Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo é a regra certa porque as escolhas são sucessivas e independentes: a quantidade de combinações é o produto das opções de cada etapa. Não é soma (que seria escolher apenas um item entre todos) nem combinação/arranjo (que envolveria escolher subconjuntos de um mesmo grupo).
De onde vem cada valor: = passo 1: 4 · = passo 2: 3 · = passo 3: 2
NÃO CAIA NESSA!
Somar as quantidades (4 + 3 + 2 = 9) em vez de multiplicar — isso daria a alternativa B, que é a pegadinha clássica.