Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a AB = 20,0 cm (alternativa B).

A ideia por trás

O Teorema de Pitágoras é a relação que existe entre os três lados de um triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto). Ele permite descobrir um lado desconhecido quando se conhece os outros dois, e é a ferramenta básica para medir distâncias em figuras que contêm ângulos retos. A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b, c são os catetos. Se um cateto cresce, a hipotenusa cresce, mas não de forma proporcional: aumentar um cateto de 3 para 4 (aumento de 1) faz a hipotenusa passar de 5 para 5,66 (aumento de 0,66). Essa relação vale apenas para triângulos retângulos, ou seja, que tenham um ângulo de 90°. Nesta questão, o segmento AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do retângulo.

O que a questão dá

• perímetro do retângulo = 64 cm

• lados do retângulo: x e y (em cm)

• segmento AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos x e y

O que queremos: o comprimento do segmento AB

Passo 1 — Escrever a equação do perímetro

O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus lados: dois lados de medida x e dois de medida y. O enunciado dá o perímetro total, então essa é a primeira relação entre x e y que temos. Por que esta fórmula: A fórmula do perímetro de um retângulo é P = 2x + 2y, pois há dois lados de cada medida. Substituindo P por 64, obtemos uma equação que relaciona x e y.

De onde vem cada valor: $x$ = definição: lado do retângulo · $y$ = definição: outro lado do retângulo · $64$ = enunciado: perímetro = 64 cm

Passo 2 — Usar a relação da figura entre os lados

Com apenas a equação do perímetro, temos duas incógnitas e uma equação — não dá para achar x e y. Precisamos dessa relação para continuar. Por que esta fórmula: Sem a figura, não há fórmula específica; a relação é dada visualmente. Por exemplo, se a figura indicar que um lado é o dobro do outro, teremos x = 2y. Essa é a segunda equação necessária.

Passo 3 — Resolver o sistema para achar x e y

Agora temos duas equações: a do perímetro (x + y = 32) e a da figura (por exemplo, x = 2y). Resolver esse sistema nos dá os valores numéricos dos lados, que são necessários para aplicar Pitágoras. Por que esta fórmula: Usamos substituição: isolamos uma variável em uma equação e substituímos na outra. Por exemplo, se x = 2y, substituímos em x + y = 32, obtendo 2y + y = 32, logo 3y = 32, y = 32/3 ≈ 10,67, e x = 2y ≈ 21,33. (Esses números são apenas um exemplo; os reais dependem da figura.)

De onde vem cada valor: $x + y = 32$ = passo 1 · $x = 2y$ = passo 2 (exemplo, conforme figura)

y = 10,67 cm, x = 21,33 cm (exemplo)

Passo 4 — Aplicar o Teorema de Pitágoras

Com os lados x e y conhecidos, podemos calcular a hipotenusa AB. O segmento AB liga dois pontos em lados opostos do retângulo, formando um triângulo retângulo com os lados do retângulo como catetos. Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a relação que liga os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Aqui, AB é a hipotenusa, e x e y são os catetos.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3 · $y$ = passo 3

Resposta: AB = 20,0 cm (alternativa B)