Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164485

Teoria dos Conjuntos: operações e partição do universo

Gabarito: letra B. A interseção $A \cap B$ é o conjunto {2}. Isso porque a união $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ é a reunião de três partes disjuntas: os elementos que só pertencem a A ( $A - B = \{1, 3\}$ ), os que só pertencem a B ( $B - A = \{4\}$ ) e os que pertencem a ambos ( $A \cap B$ ). Como $\{1, 3\} \cup \{4\} = \{1, 3, 4\}$ , o único elemento que falta para completar a união é o 2, que é exatamente a interseção.

A questão trabalha com a partição do conjunto universo (a união) em três regiões mutuamente exclusivas: a diferença $A - B$ , a diferença $B - A$ e a interseção $A \cap B$ . Essas três partes são disjuntas entre si — nenhum elemento pode estar em duas delas ao mesmo tempo — e a união delas reproduz exatamente o conjunto $A \cup B$ . Essa é a ideia central por trás do diagrama de Venn e do princípio da inclusão-exclusão.

Vamos decompor o problema. O enunciado nos dá:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ (o universo da questão);
$A - B = \{1, 3\}$ (elementos que estão em A, mas não em B);
$B - A = \{4\}$ (elementos que estão em B, mas não em A).

A diferença $A - B$ é definida como o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Analogamente, $B - A$ são os elementos de B que não pertencem a A. Por construção, essas duas diferenças são sempre disjuntas entre si e também disjuntas da interseção. Assim, a união pode ser reescrita como:

A \cup B = (A - B) \cup (A \cap B) \cup (B - A)

Substituindo os valores conhecidos:

\{1, 2, 3, 4\} = \{1, 3\} \cup (A \cap B) \cup \{4\}

Unindo as duas diferenças: $\{1, 3\} \cup \{4\} = \{1, 3, 4\}$ . Para que a união completa seja $\{1, 2, 3, 4\}$ , falta apenas o elemento 2. Portanto, $A \cap B = \{2\}$ .

Uma forma alternativa de visualizar é reconstruir os conjuntos A e B individualmente. O conjunto A é formado pelos elementos que só pertencem a ele ( $A - B$ ) mais os que pertencem a ambos ( $A \cap B$ ): $A = \{1, 3\} \cup \{2\} = \{1, 2, 3\}$ . O conjunto B é formado pelos elementos que só pertencem a ele ( $B - A$ ) mais a interseção: $B = \{4\} \cup \{2\} = \{2, 4\}$ . Conferindo: $A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{2, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$ , que bate com o enunciado. E a interseção $A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{2, 4\} = \{2\}$ .

A pegadinha clássica desta questão é confundir a diferença $A - B$ com a interseção, ou esquecer que a união é formada por três partes, não apenas duas. Muitos candidatos, ao verem $A - B = \{1, 3\}$ , assumem erroneamente que esses elementos são a interseção, ou que o elemento que falta na união (o 2) pertence a apenas um dos conjuntos. O raciocínio correto é sempre lembrar que $A \cup B$ é a soma das três regiões disjuntas do diagrama de Venn.

Guarde a estrutura da partição: diferença de A + interseção + diferença de B = união. É exatamente nessa decomposição que as alternativas se separam — cada uma explora um erro diferente na hora de identificar qual elemento pertence a qual região.

Partição da união em três regiões — só Conjunto A: {1, 3}; só Conjunto B: {4}; Conjunto A∩Conjunto B: {2}

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $A \cap B = \varnothing$ (conjunto vazio). Isso só seria verdade se A e B não tivessem elementos em comum, ou seja, se $A \cup B$ fosse formado apenas pelas duas diferenças. Mas o enunciado mostra que $\{1, 3\} \cup \{4\} = \{1, 3, 4\} \neq \{1, 2, 3, 4\}$ — sobra o elemento 2, que precisa estar em algum lugar. Como ele não está em $A - B$ nem em $B - A$ , ele só pode estar na interseção. A alternativa confunde a situação em que os conjuntos são disjuntos com o caso geral.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A interseção é $\{2\}$ . Como demonstrado, a união $\{1, 2, 3, 4\}$ é decomposta em $A - B = \{1, 3\}$ , $B - A = \{4\}$ e $A \cap B$ . Unindo as duas diferenças temos $\{1, 3, 4\}$ ; o elemento que falta para completar a união é o 2, que é justamente o único elemento comum aos dois conjuntos. Reconstruindo: $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{2, 4\}$ , e a interseção é $\{2\}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $A \cap B = \{1, 3\}$ . Esse é exatamente o conjunto $A - B$ , ou seja, os elementos que pertencem apenas a A. A alternativa troca a diferença pela interseção: $\{1, 3\}$ são os elementos que estão em A mas não em B, portanto não podem estar na interseção (que exige pertencer aos dois simultaneamente). É a pegadinha mais comum: confundir a região exclusiva de A com a região comum.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $A \cap B = \{2, 4\}$ . O elemento 4 pertence a $B - A$ , ou seja, está apenas em B, não em A. Logo, não pode fazer parte da interseção. O elemento 2 realmente está na interseção, mas o 4 está na região exclusiva de B. A alternativa mistura a interseção com a diferença $B - A$ , somando elementos de regiões diferentes do diagrama de Venn.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $A \cap B = \{1, 2, 3\}$ . Esse conjunto é exatamente o A completo (a união de $A - B$ com a interseção). Os elementos 1 e 3 pertencem apenas a A, não a B, então não podem estar na interseção. A alternativa confunde o conjunto A inteiro com a interseção, ignorando que a interseção exige pertencimento simultâneo aos dois conjuntos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as três regiões do diagrama de Venn. As alternativas C, D e E são, respectivamente, $A - B$ , a mistura de $B - A$ com a interseção, e o próprio A. O candidato que não decompõe a união em três partes disjuntas acaba escolhendo uma dessas armadilhas. A chave é sempre perguntar: "este elemento está em A e em B ao mesmo tempo?" — se sim, está na interseção; se está em apenas um, está numa das diferenças.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de conjuntos com diferenças dadas, monte mentalmente o diagrama de Venn e preencha as três regiões na ordem: (1) $A - B$ , (2) $B - A$ , (3) $A \cap B$ (o que sobrar). A soma das três regiões é sempre a união. Esse método resolve a maioria dos problemas de dois conjuntos sem precisar de fórmulas decoradas.

Gabarito: letra B