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Questão de Matemática — Inequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente) — FGV 2024

MatemáticaInequações de Primeiro Grau (Inequações Simultâneas, Inequações-Produto e Quociente)
Código
fg164487
Banca
FGV
Órgão
Pref Macaé
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Em uma caixa há exatamente 40 bolas. Cada bola tem cor única e essa cor ou é branca ou é preta.   A razão entre o número de bolas brancas e o número de bolas pretas é 3/5.   O número mínimo de bolas pretas que deve ser retirado da caixa, de modo que, dentro dela, a razão entre o número de bolas brancas e o número de bolas pretas passe a ser maior que 1, é
  1. A9.
  2. B10.
  3. C11.
  4. D12.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 11.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 11 bolas pretas — alternativa C.

A ideia por trás

Uma razão compara duas quantidades: dizer que a razão entre brancas e pretas é 3/5 significa que, para cada 3 bolas brancas, há 5 pretas. Quando o total é conhecido, essa razão divide o total em partes proporcionais: o total é dividido em 3+5=8 partes, e cada parte vale 40/8=5 bolas. Assim, brancas = 3×5 = 15 e pretas = 5×5 = 25.

A condição 'razão maior que 1' significa que o numerador (brancas) é maior que o denominador (pretas). Como só retiramos pretas, o número de brancas fica fixo em 15; então precisamos que o número de pretas restantes seja menor que 15. Isso gera uma inequação: 15/(25−x) > 1, onde x é o número de pretas retiradas. Como o denominador é positivo (não podemos retirar mais do que existem), podemos multiplicar ambos os lados sem inverter o sinal, obtendo x > 10. Como x é inteiro, o menor valor é 11.

Esta questão testa a interpretação de 'maior que 1' como desigualdade estrita e o arredondamento para o próximo inteiro. O erro comum é parar em x > 10 e marcar 10, esquecendo que com 10 retiradas a razão fica igual a 1, não maior.

O que a questão dá

  • total de bolas = 40

  • razão brancas/pretas = 3/5

  • condição final: razão brancas/pretas > 1

O que queremos: o número mínimo de bolas pretas a retirar para que a razão brancas/pretas fique maior que 1

Passo 1 — Descobrir quantas bolas brancas e pretas há

Precisamos saber os números atuais para depois calcular o efeito das retiradas. A razão 3/5 divide o total de 40 em 8 partes iguais.

Por que esta fórmula: A razão a:b significa que o total é dividido em a+b partes; cada parte vale total/(a+b). Então brancas = 3 partes e pretas = 5 partes.

brancas=33+5×40,pretas=53+5×40\text{brancas} = \frac{3}{3+5} \times 40, \quad \text{pretas} = \frac{5}{3+5} \times 40

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: razão 3/5 · 55 = enunciado: razão 3/5 · 4040 = enunciado: total de bolas · 3+53+5 = constante: soma dos termos da razão

brancas=38×40=15,pretas=58×40=25=15 brancase25pretas\text{brancas} = \frac{3}{8} \times 40 = 15, \quad \text{pretas} = \frac{5}{8} \times 40 = 25 = \boxed{15\ \text{brancas} \text{e} 25 \text{pretas}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 3+5 errado ou inverter a ordem: brancas seriam 25 e pretas 15, o que inverte toda a conta.

Passo 2 — Montar a inequação da condição

A condição final é que a razão brancas/pretas seja maior que 1. Como só retiramos pretas, o número de brancas permanece 15, e o de pretas vira 25−x, onde x é o número de retiradas.

Por que esta fórmula: A razão é brancas dividido por pretas. Queremos que seja maior que 1, então escrevemos 15/(25−x) > 1.

1525−x>1\frac{15}{25 - x} > 1

De onde vem cada valor: 1515 = passo 1: número de brancas · 2525 = passo 1: número de pretas · xx = definição: número de pretas retiradas

1525−x>1\frac{15}{25 - x} > 1
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o denominador é 25−x e não x; ou inverter a fração.

Passo 3 — Resolver a inequação para x

Precisamos isolar x para saber quantas retiradas são necessárias. Como 25−x é positivo (não podemos retirar mais do que existem), multiplicar por ele não inverte o sinal.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados por (25−x) e depois isolando x, obtemos x > 10.

15>25−x⇒x>1015 > 25 - x \Rightarrow x > 10

De onde vem cada valor: 1515 = passo 2: numerador · 2525 = passo 2: denominador original

15>25−x⇒x>10=x>1015 > 25 - x \Rightarrow x > 10 = \boxed{\text{x} > 10}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar por (25−x) sem verificar que é positivo; ou parar em x > 10 e marcar 10.

Passo 4 — Arredondar para o menor inteiro maior que 10

x é o número de bolas retiradas, então deve ser inteiro. A condição é estrita (maior que 10), então o menor inteiro que satisfaz é 11.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a interpretação da desigualdade: se x > 10, o menor inteiro possível é 11.

x=11x = \boxed{11}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar 10, que daria razão igual a 1, não maior; ou arredondar para baixo.

Resposta: 11 bolas pretas — alternativa C

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