Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164489

Matrizes 2×2 com elementos em {-1, 0, 1} e soma positiva

Gabarito: letra A. Uma matriz 2×2 tem 4 elementos; para a soma ser positiva, a quantidade de elementos 1 deve superar a quantidade de elementos -1. A alternativa A é correta porque é possível ter a mesma quantidade de 0 e de -1 (por exemplo, um 0 e um -1, desde que haja dois 1s, resultando em soma 1). As demais alternativas impõem condições que ou violam a soma positiva ou são impossíveis.

O problema pede para analisar matrizes quadradas de ordem 2, ou seja, com 2 linhas e 2 colunas, totalizando 4 elementos. Cada elemento pode ser -1, 0 ou 1. A condição é que a soma de todos os elementos seja positiva. Vamos chamar de $p$ a quantidade de elementos iguais a 1, de $q$ a quantidade de elementos iguais a 0 e de $r$ a quantidade de elementos iguais a -1. Como há 4 elementos no total, temos:

p + q + r = 4

A soma dos elementos é:

S = 1 \cdot p + 0 \cdot q + (-1) \cdot r = p - r

Para que a soma seja positiva, precisamos que $p - r > 0$ , ou seja, $p > r$ . Isso significa que deve haver mais elementos 1 do que elementos -1. Essa é a condição fundamental que rege todas as alternativas.

Vamos explorar as possibilidades. Como $p > r$ e $p + q + r = 4$ , podemos listar as combinações possíveis de $(p, q, r)$ :

Se $r = 0$ : $p$ pode ser 1, 2, 3 ou 4 (e $q$ se ajusta para completar 4). Exemplos: (1,3,0), (2,2,0), (3,1,0), (4,0,0).
Se $r = 1$ : $p$ pode ser 2, 3 ou 4 (e $q$ se ajusta). Exemplos: (2,1,1), (3,0,1).
Se $r = 2$ : $p$ pode ser 3 ou 4 (e $q$ se ajusta). Exemplo: (3,-1,2) não é possível porque $q$ seria -1, então na verdade (3,0,2) não fecha a soma 4, pois 3+0+2=5. Vamos corrigir: com $r=2$ , $p$ deve ser pelo menos 3, mas $p+q+r=4$ implica $q = 4 - p - r$ . Se $p=3$ , $q = 4-3-2 = -1$ , impossível. Se $p=4$ , $q = 4-4-2 = -2$ , impossível. Portanto, $r$ não pode ser 2 ou mais, pois não sobraria espaço para $q$ .

Na verdade, a condição $p > r$ e $p+q+r=4$ limita $r$ a 0 ou 1. Vamos verificar:

$r=0$ : $p$ pode ser 1, 2, 3, 4.
$r=1$ : $p$ pode ser 2, 3 (pois $p>1$ e $p+q=3$ ).
$r=2$ : $p$ deve ser 3 ou 4, mas $p+q=2$ , impossível.

Portanto, as combinações válidas são:

$p$ (nº de 1s)	$q$ (nº de 0s)	$r$ (nº de -1s)	Soma $S = p - r$
1	3	0	1
2	2	0	2
3	1	0	3
4	0	0	4
2	1	1	1
3	0	1	2

Essas são todas as possibilidades de contagem de elementos que satisfazem a soma positiva. Agora vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que a matriz pode ter a mesma quantidade de 0 e de -1. Isso significa $q = r$ . Olhando a tabela, vemos que a combinação $(p, q, r) = (2, 1, 1)$ satisfaz $q = r = 1$ e tem soma $S = 2 - 1 = 1 > 0$ . Portanto, é possível. Um exemplo concreto de matriz seria:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

A soma dos elementos é $1 + 0 + (-1) + 1 = 1$ , que é positiva. Aqui temos dois elementos 1, um 0 e um -1, ou seja, a mesma quantidade de 0 e de -1. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que pode ter a mesma quantidade de 1 e de -1, ou seja, $p = r$ . Mas a condição de soma positiva exige $p > r$ . Se $p = r$ , então $S = p - r = 0$ , que não é positiva. Portanto, é impossível ter a mesma quantidade de 1 e de -1. A banca tenta confundir o candidato ao inverter a condição: não é a igualdade entre 1 e -1, mas sim a superioridade do número de 1s sobre o de -1s.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que não pode ter três elementos 0. Isso é falso, pois a combinação $(p, q, r) = (1, 3, 0)$ tem três zeros e soma $S = 1 - 0 = 1 > 0$ . Um exemplo seria:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

A soma é 1, positiva. Portanto, pode sim ter três elementos 0. A alternativa erra ao afirmar o contrário.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que pode ter dois elementos -1, ou seja, $r = 2$ . Como vimos, isso é impossível porque, com $r = 2$ , precisaríamos de $p > 2$ , ou seja, $p \geq 3$ , mas $p + q + r = 4$ implicaria $q = 4 - p - 2 \leq -1$ , o que é impossível. Portanto, não pode ter dois elementos -1. A alternativa está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que tem que ter mais 0 do que -1, ou seja, $q > r$ . Isso não é uma obrigatoriedade. Por exemplo, a combinação $(p, q, r) = (3, 0, 1)$ tem $q = 0$ e $r = 1$ , ou seja, $q < r$ , e a soma é $S = 3 - 1 = 2 > 0$ . Um exemplo de matriz seria:

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

A soma é $1 + 1 + 1 + (-1) = 2$ , positiva, e há mais -1 do que 0. Portanto, a alternativa está incorreta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a condição de soma positiva e a contagem de elementos. O candidato pode pensar que, para a soma ser positiva, basta ter mais 1s do que -1s, mas esquece que os zeros não influenciam na soma. A pegadinha está em alternativas que parecem razoáveis, mas impõem condições desnecessárias ou impossíveis, como a B (igualdade entre 1 e -1) e a D (dois -1s). Lembre-se: a única condição é $p > r$ , e as combinações válidas são limitadas.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de contagem com soma, defina variáveis para as quantidades de cada tipo de elemento e escreva as equações. Aqui, $p + q + r = 4$ e $S = p - r > 0$ . Liste as combinações possíveis e teste cada alternativa. Isso evita erros de lógica e torna a análise mais rápida.

Gabarito: letra A