Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164493

Equações do 2º grau: relações de Girard e soma dos quadrados das raízes

Gabarito: letra B. A soma dos quadrados das raízes é dada por $r_1^2 + r_2^2 = (r_1+r_2)^2 - 2r_1r_2$ . Pela equação $abx^2 - (a^2+b^2)x + ab = 0$ , temos $r_1+r_2 = \frac{a^2+b^2}{ab}$ e $r_1r_2 = 1$ , logo $r_1^2+r_2^2 = \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^2 - 2$ .

A questão explora um tema clássico de equações do segundo grau: as relações de Girard (ou relações entre coeficientes e raízes). Para uma equação geral $Ax^2 + Bx + C = 0$ , com raízes $r_1$ e $r_2$ , valem:

Soma das raízes: $r_1 + r_2 = -\frac{B}{A}$
Produto das raízes: $r_1 \cdot r_2 = \frac{C}{A}$

Essas relações são extremamente úteis porque permitem calcular expressões com as raízes sem precisar resolvê-las individualmente. No caso, a equação dada é $abx^2 - (a^2+b^2)x + ab = 0$ . Identificando os coeficientes:

$A = ab$
$B = -(a^2+b^2)$
$C = ab$

Aplicando Girard:

$r_1 + r_2 = -\frac{-(a^2+b^2)}{ab} = \frac{a^2+b^2}{ab}$
$r_1 \cdot r_2 = \frac{ab}{ab} = 1$

O que a questão pede é $r_1^2 + r_2^2$ . Não temos diretamente esse valor, mas podemos obtê-lo a partir da soma e do produto. Partimos do quadrado da soma:

(r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2

Isolando $r_1^2 + r_2^2$ :

r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2

Agora substituímos os valores encontrados:

r_1^2 + r_2^2 = \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^2 - 2 \cdot 1 = \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^2 - 2

Essa é exatamente a alternativa B.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir uma expressão com as raízes (soma dos quadrados, soma dos inversos, diferença, etc.), o caminho é usar as relações de Girard e manipular algebricamente. Memorize as duas principais transformações:

$r_1^2 + r_2^2 = (r_1+r_2)^2 - 2r_1r_2$
$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_1+r_2}{r_1r_2}$

1Identificar coeficientes A, B, C
2Girard: soma = -B/A
3Girard: produto = C/A
4r₁²+r₂² = (soma)² - 2·produto

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}\right)^2 - 1$ . O erro está em dividir a soma por 2 e subtrair 1 em vez de 2. A soma correta é $\frac{a^2+b^2}{ab}$ (sem o fator 2 no denominador), e o termo subtraído deve ser $2r_1r_2 = 2$ , não 1. Essa alternativa parece uma tentativa de usar a média das raízes, mas a fórmula correta não envolve essa divisão.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $r_1^2 + r_2^2 = \left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)^2 - 2$ . A soma das raízes é $\frac{a^2+b^2}{ab}$ e o produto é 1, então a expressão final é exatamente essa. A alternativa espelha corretamente a aplicação da identidade $(r_1+r_2)^2 - 2r_1r_2$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\left(\frac{a^2-b^2}{2ab}\right)^2 - 1$ . Aqui há dois erros: usa $a^2 - b^2$ em vez de $a^2 + b^2$ na soma das raízes, e divide por $2ab$ em vez de $ab$ . Além disso, subtrai 1 em vez de 2. A soma correta é $\frac{a^2+b^2}{ab}$ , não $\frac{a^2-b^2}{2ab}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)^2 - 2$ . O erro está em usar $a^2 - b^2$ no numerador da soma. A soma correta é $\frac{a^2+b^2}{ab}$ , pois o coeficiente $B$ é $-(a^2+b^2)$ . A troca do sinal de mais para menos é a pegadinha central desta alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\left(\frac{a+b}{ab}\right)^2 - 2$ . O erro está em usar $a+b$ em vez de $a^2+b^2$ no numerador. A soma das raízes é $\frac{a^2+b^2}{ab}$ , não $\frac{a+b}{ab}$ . Essa alternativa confunde a soma dos coeficientes com a soma dos quadrados dos coeficientes.

Gabarito: letra B