Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2024

Funções trigonométricas: valor mínimo

Gabarito: letra D — o valor mínimo de $f(x) = 12{}6 - 4{}9 \cdot \sin(3x + \frac{\pi}{5})$ é $12{}6 - 4{}9 = 7{}7$, que está entre 7 e 8. Isso ocorre porque o seno, independentemente do argumento, tem imagem no intervalo $[-1, 1]$; para minimizar $f$, subtraímos o maior valor possível de $\sin$, que é $1$.

A função seno é uma função periódica que oscila entre $-1$ e $1$. Para qualquer argumento real $\theta = 3x + \frac{\pi}{5}$, temos $-1 \leq \sin(\theta) \leq 1$. A função dada é uma transformação afim do seno: multiplicamos o seno por $-4{}9$ (invertendo e escalando) e somamos $12{}6$. Para encontrar o valor mínimo de $f$, precisamos que o termo $-4{}9 \cdot \sin(\theta)$ seja o menor possível. Como o coeficiente é negativo, o termo é minimizado quando $\sin(\theta)$ é máximo, ou seja, quando $\sin(\theta) = 1$. Nesse caso, $f_{\min} = 12{}6 - 4{}9 \cdot 1 = 7{}7$.

Esse valor é atingido quando $\sin(3x + \frac{\pi}{5}) = 1$, o que ocorre para $3x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$. Resolvendo, $3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} + 2k\pi = \frac{3\pi}{10} + 2k\pi$, logo $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{3}$. Como a função seno é periódica, esse mínimo se repete infinitas vezes, mas o valor mínimo em si é único: $7{}7$.

A pegadinha clássica neste tipo de questão é inverter o raciocínio: como o coeficiente do seno é negativo, o mínimo de $f$ ocorre no máximo do seno, e não no mínimo. Se o aluno pensar que o mínimo de $f$ ocorre quando $\sin = -1$, ele calcularia $12{}6 + 4{}9 = 17{}5$, que seria o máximo de $f$. Outra armadilha é esquecer que o argumento $3x + \frac{\pi}{5}$ não altera a imagem do seno — ele apenas desloca e comprime o gráfico horizontalmente, mas os valores máximo e mínimo do seno continuam sendo $1$ e $-1$.

Para resolver, basta lembrar que, para qualquer função do tipo $g(x) = A + B \cdot \sin(\text{argumento})$, com $B > 0$, o valor mínimo é $A - B$ e o máximo é $A + B$. Aqui, $A = 12{}6$ e $B = 4{}9$ (o sinal negativo já está embutido na fórmula, mas o raciocínio é o mesmo: o mínimo de $f$ é $A - |B| = 12{}6 - 4{}9 = 7{}7$). Esse é o critério que separa as alternativas: basta calcular $7{}7$ e ver em qual intervalo ele se encaixa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo é maior que 10. Isso seria verdade se o mínimo fosse, por exemplo, $12{}6 - 4{}9 \cdot (-1) = 17{}5$, que é na verdade o máximo da função. O aluno que confunde mínimo com máximo cai nesta alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo está entre 9 e 10. Isso ocorreria se o coeficiente do seno fosse menor em módulo, por exemplo, se $f(x) = 12{}6 - 2{}6 \cdot \sin(\dots)$, cujo mínimo seria $10$. Mas com $4{}9$, o mínimo é $7{}7$, fora desse intervalo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo está entre 8 e 9. Isso seria o caso se o coeficiente fosse $4{}6$ (mínimo $8{}0$) ou se o termo constante fosse $13{}9$ com coeficiente $4{}9$ (mínimo $9{}0$). Nenhum dos dois é o caso: $12{}6 - 4{}9 = 7{}7$, que é menor que 8.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor mínimo é $12{}6 - 4{}9 = 7{}7$, que está entre 7 e 8. A alternativa está correta porque o mínimo de $f$ ocorre quando $\sin(3x + \frac{\pi}{5}) = 1$, e $7{}7$ pertence ao intervalo $(7, 8)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo é menor que 7. Isso seria verdade se o coeficiente fosse maior que $5{}6$ (por exemplo, $12{}6 - 5{}7 = 6{}9$), mas com $4{}9$ o mínimo é $7{}7$, que é maior que 7.

Gabarito: letra D