GabaritoC — 0
Gabarito: letra C — a conta chega a k = 0 — alternativa C.
Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Ele pode ter uma única solução (determinado), infinitas soluções (indeterminado) ou nenhuma solução (impossível). A pergunta 'só possui solução' quer que exista pelo menos uma solução, ou seja, que o sistema seja possível.
Para um sistema quadrado, o determinante da matriz dos coeficientes indica o tipo: se for diferente de zero, há solução única; se for zero, pode haver infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos independentes. Aqui, o determinante é sempre zero, então a existência de solução depende de uma condição sobre k, que aparece ao comparar as equações.
Esta questão cobra a análise de compatibilidade quando o determinante é nulo: precisamos ver se as equações se contradizem ou não, e isso vai depender do valor de k.
sistema: 3x + 2y + z = 1
2x + y + z = 1
2x + 2y = k
O que queremos: o valor de k para que o sistema tenha solução
Para simplificar o sistema, subtraímos as duas primeiras equações. Isso elimina a variável z e nos dá uma relação entre x e y, que depois compararemos com a terceira equação.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma operação válida: se duas igualdades são verdadeiras, a diferença entre elas também é. Aqui, subtrair a primeira da segunda cancela z e os termos constantes.
De onde vem cada valor: = enunciado: segunda equação · = enunciado: primeira equação
-x - y = 0, ou seja, x + y = 0
Errar o sinal ao subtrair: lembre-se de distribuir o sinal de menos em cada termo.
A terceira equação também envolve x e y, então vamos escrevê-la na mesma forma x + y = ... para comparar com o resultado do passo anterior.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 2 não altera a igualdade e deixa a equação na forma que queremos comparar.
De onde vem cada valor: = enunciado: terceira equação 2x + 2y = k
Esquecer de dividir o k também por 2.
Para o sistema ter solução, as duas equações que envolvem x e y não podem se contradizer. Como ambas dizem quanto vale x + y, esses valores precisam ser iguais.
Por que esta fórmula: Se x + y = 0 e x + y = k/2, então para que exista um par (x, y) satisfazendo ambas, devemos ter 0 = k/2.
De onde vem cada valor: = passo 1: x + y = 0 · = passo 2: x + y = k/2
Achar que k pode ser qualquer valor, sem perceber a contradição quando k ≠ 0.
Resposta: k = 0 — alternativa C
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