Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — FGV 2024

Função Afim: Coeficientes e Raiz

Gabarito: letra B. A condição $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ define uma função estritamente decrescente, o que implica coeficiente angular $a < 0$. A raiz (interseção com o eixo das abscissas) tem coordenadas $(r, 0)$; como a soma das coordenadas é $r + 0 = r < 0$, a raiz é negativa. Pela fórmula da raiz $r = -b/a$, com $a < 0$ e $r < 0$, conclui-se que $b < 0$. Portanto, ambos os coeficientes são negativos.

Uma função polinomial do 1º grau tem a forma $f(x) = ax + b$, onde $a$ é o coeficiente angular e $b$ é o coeficiente linear. O coeficiente angular determina a inclinação da reta: se $a > 0$, a função é crescente; se $a < 0$, é decrescente. O coeficiente linear $b$ indica onde a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y), ou seja, o valor de $f(0)$.

A condição do enunciado, $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$, é a definição de função estritamente decrescente. Isso significa que, à medida que os valores de $x$ aumentam, os valores de $f(x)$ diminuem. Graficamente, a reta desce da esquerda para a direita. Essa é uma característica exclusiva de funções com coeficiente angular negativo ($a < 0$).

A raiz da função é o valor de $x$ que torna $f(x) = 0$. Geometricamente, é o ponto onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x). Esse ponto tem coordenadas $(r, 0)$, onde $r$ é a raiz. O enunciado afirma que a soma das coordenadas desse ponto é menor que zero, ou seja, $r + 0 < 0$, logo $r < 0$. A raiz é negativa.

A fórmula da raiz de uma função afim é $r = -b/a$. Com $a < 0$ e $r < 0$, temos:

Multiplicando ambos os lados por $a$ (que é negativo, invertendo a desigualdade):

Portanto, o coeficiente linear também é negativo. A combinação $a < 0$ e $b < 0$ é exatamente o que a alternativa B afirma.

A pegadinha desta questão está em relacionar corretamente o sinal da raiz com os coeficientes. Muitos candidatos podem pensar que, se a raiz é negativa, o coeficiente linear deve ser positivo, mas a análise algébrica mostra o contrário quando o coeficiente angular é negativo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que ambos os coeficientes são positivos. Isso descreveria uma função crescente ($a > 0$), o que contradiz diretamente a condição de decrescimento do enunciado. Além disso, com $a > 0$ e $b > 0$, a raiz $r = -b/a$ seria negativa, o que até satisfaria a condição da soma, mas a função seria crescente, invalidando a alternativa.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a função é decrescente ($a < 0$) e a raiz é negativa ($r < 0$). Pela fórmula $r = -b/a$, com $a < 0$ e $r < 0$, conclui-se que $b < 0$. Portanto, ambos os coeficientes são negativos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular é positivo e o linear é negativo. Um coeficiente angular positivo ($a > 0$) indicaria uma função crescente, o que contradiz a condição de decrescimento. Portanto, a alternativa é falsa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular é negativo e o linear é positivo. Embora o coeficiente angular negativo ($a < 0$) esteja correto, o coeficiente linear positivo ($b > 0$) implicaria uma raiz $r = -b/a$ positiva (pois $-b < 0$ e $a < 0$, resultando em $r > 0$). Isso contraria a condição de raiz negativa. Portanto, a alternativa é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o coeficiente angular é negativo e o linear é nulo. Se $b = 0$, a raiz seria $r = 0/a = 0$, e a soma das coordenadas do ponto de interseção seria $0 + 0 = 0$, que não é menor que zero. Portanto, a alternativa é falsa.

Gabarito: letra B