Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — FGV 2024

Função Exponencial e Variação Percentual

Gabarito: letra D. A função $f(x) = 200 \times 1,69^{x/6}$ cresce 30% a cada acréscimo de três unidades em x, pois $1,69 = 1,3^2$ e, portanto, $f(x+3) = f(x) \times 1,3$. A chave está em reescrever a base $1,69$ como uma potência de $1,3$ e observar o efeito do expoente $x/6$ no incremento de $x$.

A questão mistura dois conceitos: a função exponencial e a variação percentual. A função exponencial tem a forma $f(x) = b \cdot a^x$, onde $a$ é a base (positiva e diferente de 1) e $b$ é uma constante. Quando a base $a > 1$, a função é crescente; quando $0 < a < 1$, é decrescente. O que a questão pede é: ao aumentar $x$ em uma certa quantidade, qual é o percentual de aumento de $f(x)$?

Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando $x$ recebe um acréscimo. Vamos calcular a razão entre $f(x + k)$ e $f(x)$:

Essa razão nos diz o fator pelo qual $f(x)$ é multiplicado quando $x$ aumenta em $k$ unidades. Se esse fator for, por exemplo, $1,30$, então o aumento é de 30%.

Agora, observamos que $1,69 = 1,3^2$. Substituindo na expressão da razão:

Para que o fator seja $1,3$ (aumento de 30%), precisamos que $k/3 = 1$, ou seja, $k = 3$. Portanto, a cada acréscimo de 3 unidades em $x$, o valor da função é multiplicado por $1,3$, o que representa um aumento de 30%.

Vamos verificar com um exemplo numérico. Se $x = 0$, $f(0) = 200 \times 1,69^0 = 200$. Se $x = 3$, $f(3) = 200 \times 1,69^{3/6} = 200 \times 1,69^{0,5} = 200 \times \sqrt{1,69} = 200 \times 1,3 = 260$. O aumento foi de $260 - 200 = 60$, que corresponde a $60/200 = 0,30 = 30\%$. Confirmando: a cada 3 unidades, o valor sobe 30%.

A pegadinha da banca está em confundir o expoente $x/6$ com o incremento. Muitos candidatos veem o "6" no denominador e pensam que o aumento é a cada 6 unidades, ou veem o "1,69" e pensam em 69%. A chave é sempre calcular a razão $f(x+k)/f(x)$ e simplificar a base para identificar o fator de crescimento.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta 69% a cada acréscimo de uma unidade em $x$. Isso seria verdade se a função fosse $f(x) = 200 \times 1,69^x$, mas o expoente é $x/6$. Ao aumentar $x$ em 1, o fator é $1,69^{1/6} \approx 1,0913$, ou seja, um aumento de aproximadamente 9,13%, não 69%. O número 69% é a taxa aparente da base $1,69$, mas não corresponde ao aumento por unidade de $x$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta 69% a cada acréscimo de três unidades em $x$. Ao aumentar $x$ em 3, o fator é $1,69^{3/6} = 1,69^{0,5} = 1,3$, ou seja, um aumento de 30%, não 69%. A alternativa confunde o valor da base (1,69) com o fator de crescimento efetivo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta 30% a cada acréscimo de uma unidade em $x$. Ao aumentar $x$ em 1, o fator é $1,69^{1/6} \approx 1,0913$, ou seja, um aumento de aproximadamente 9,13%, não 30%. O valor 30% é o aumento correto, mas o intervalo de $x$ está errado: não é a cada 1 unidade, e sim a cada 3.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o valor aumenta 30% a cada acréscimo de três unidades em $x$. Como demonstrado, $f(x+3)/f(x) = 1,69^{3/6} = 1,3$, o que representa um aumento de 30%. Esta é a única alternativa que acerta tanto o percentual quanto o intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta 30% a cada acréscimo de seis unidades em $x$. Ao aumentar $x$ em 6, o fator é $1,69^{6/6} = 1,69$, ou seja, um aumento de 69%, não 30%. A alternativa inverte os valores: o aumento de 30% ocorre a cada 3 unidades, e o de 69% a cada 6 unidades.

Gabarito: letra D