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Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FGV 2024

MatemáticaEquações de Primeiro Grau
Código
fg164499
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Cargo
Ana Proc ( )
Numa certa região há alguns vilarejos de maneira que cada dupla de vilarejos possui uma única estrada que os conecta. Observe o exemplo para cinco vilarejos em que cada casinha representa um vilarejo e cada segmento de reta representa uma estrada. Considere que nessa região há inicialmente x vilarejos e que 2 novos vilarejos estejam se desenvolvendo. Por essa razão, 17 novas estradas estão sendo construídas. Nessas condições, o número x valeImagem associada para resolução da questão
  1. A6.
  2. B7.
  3. C8.
  4. D9.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a x = 8 — alternativa C.

A ideia por trás

Quando cada par de vilarejos é ligado por uma única estrada, temos um grafo completo: um conjunto de pontos onde todos os pares possíveis estão conectados. O número de estradas é o número de pares que podemos formar, que é dado pela combinação C(n,2) = n(n-1)/2. Essa fórmula conta quantas duplas distintas existem entre n elementos, e cada dupla é uma estrada.

A relação central é que o número de estradas cresce com o quadrado do número de vilarejos: com n vilarejos, há n(n-1)/2 estradas. Isso significa que adicionar vilarejos aumenta o número de estradas de forma acelerada, porque cada novo vilarejo se conecta a todos os anteriores. A diferença entre o número de estradas antes e depois da adição é o que o problema chama de 'novas estradas construídas'.

Esta questão pede para montar uma equação com a diferença entre o número de estradas com x+2 vilarejos e com x vilarejos, igualando a 17. A solução dessa equação dá o valor de x.

O que a questão dá

  • número inicial de vilarejos = x

  • novos vilarejos = 2

  • novas estradas construídas = 17

O que queremos: o valor de x, o número inicial de vilarejos

Passo 1 — Escrever a fórmula do número de estradas

Precisamos de uma expressão para contar as estradas em função do número de vilarejos, porque o problema fala de uma diferença entre duas situações. A fórmula C(n,2) = n(n-1)/2 é exatamente isso: ela conta quantos pares distintos existem entre n vilarejos, e cada par é uma estrada.

Por que esta fórmula: É a combinação de n elementos tomados 2 a 2, que conta o número de maneiras de escolher 2 vilarejos entre n para formar uma estrada. Como cada par tem uma única estrada, essa é a contagem correta.

E(n)=n(n−1)2E(n) = \frac{n(n-1)}{2}

De onde vem cada valor: nn = definição: número de vilarejos (variável)

NÃO CAIA NESSA!

Usar n² em vez de n(n-1)/2, o que contaria estradas a mais, pois cada estrada seria contada duas vezes.

Passo 2 — Montar a equação da diferença

O enunciado diz que 17 novas estradas foram construídas quando passamos de x para x+2 vilarejos. Isso significa que a diferença entre o número de estradas depois e antes é 17. Precisamos expressar essa diferença com a fórmula do passo 1.

Por que esta fórmula: A diferença E(x+2) - E(x) representa exatamente as novas estradas: as que existem com x+2 vilarejos menos as que já existiam com x. Igualar a 17 traduz o dado do problema.

(x+2)(x+1)2−x(x−1)2=17\frac{(x+2)(x+1)}{2} - \frac{x(x-1)}{2} = 17

De onde vem cada valor: x+2x+2 = enunciado: 2 novos vilarejos · xx = enunciado: número inicial de vilarejos · 1717 = enunciado: novas estradas construídas

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os novos vilarejos também se conectam entre si e com os antigos, subestimando a diferença.

Passo 3 — Eliminar os denominadores

A equação tem frações com denominador 2, o que dificulta a resolução. Multiplicar ambos os lados por 2 simplifica a equação, mantendo a igualdade.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2 é uma operação algébrica válida que remove as frações, deixando a equação mais simples de trabalhar.

(x+2)(x+1)−x(x−1)=34(x+2)(x+1) - x(x-1) = 34

De onde vem cada valor: (x+2)(x+1)(x+2)(x+1) = passo 2: numerador da primeira fração · x(x−1)x(x-1) = passo 2: numerador da segunda fração · 3434 = passo 2: 17 × 2

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 17 também por 2, resultando em 17 no lado direito.

Passo 4 — Expandir os produtos

Para simplificar a equação, precisamos eliminar os parênteses aplicando a propriedade distributiva. Isso transforma a expressão em uma forma mais direta.

Por que esta fórmula: Expandir (x+2)(x+1) e x(x-1) é necessário para combinar os termos semelhantes.

(x2+3x+2)−(x2−x)=34(x^{2} + 3x + 2) - (x^{2} - x) = 34

De onde vem cada valor: x2+3x+2x^{2} + 3x + 2 = passo 3: expansão de (x+2)(x+1) · x2−xx^{2} - x = passo 3: expansão de x(x-1)

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair x^2 - x: lembre-se de que o sinal de menos antes do parêntese inverte todos os termos.

Passo 5 — Simplificar a equação

Com os parênteses eliminados, podemos combinar os termos semelhantes para reduzir a equação a uma forma linear simples.

Por que esta fórmula: Somando e subtraindo os termos de mesmo grau, os termos x² se cancelam, restando uma equação de primeiro grau.

4x+2=344x + 2 = 34

De onde vem cada valor: 4x4x = passo 4: 3x + x · 22 = passo 4: 2 - (-1) = 3? Na verdade, 2 - (-1) = 3, então 2 + 3? Vamos corrigir: (x^2 + 3x + 2) - (x^2 - x) = x^2 + 3x + 2 - x^2 + x = 4x + 2. O 2 vem do termo constante. · 3434 = passo 3: lado direito

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar o termo constante corretamente, resultando em 4x = 34 em vez de 4x + 2 = 34.

Passo 6 — Isolar x

A equação está quase resolvida; precisamos deixar x sozinho de um lado para encontrar seu valor.

Por que esta fórmula: Subtrair 2 de ambos os lados e depois dividir por 4 são operações inversas que isolam x.

x=34−24x = \frac{34 - 2}{4}

De onde vem cada valor: 3434 = passo 5: lado direito · 22 = passo 5: termo constante · 44 = passo 5: coeficiente de x

x=324=8x = \frac{32}{4} = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 34 por 4 diretamente, esquecendo de subtrair 2 primeiro.

Resposta: x = 8 — alternativa C

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