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Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — FGV 2024

MatemáticaFrações e Dízimas Periódicas
Código
fg164500
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Cargo
Ana TI ( )
Sendo n um número natural, definimos a soma S = 11.2\frac{1}{1.2} + 12.3\frac{1}{2.3} + 13.4\frac{1}{3.4} + \cdots + 1n.(n+1)\frac{1}{n.(n+1)}   Se \underset{n \to ∞\infty}{lim⁡\lim}S = ab\frac{a}{b}, com a e b naturais  e ab\frac{a}{b} irredutível, então o valor de a + b será
  1. A2.
  2. B3.
  3. C4.
  4. D5.
  5. E7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a a + b = 2 — alternativa A.

A ideia por trás

Uma soma telescópica é uma sequência de frações em que cada termo pode ser reescrito como a diferença de duas frações menores, de modo que, ao somar, quase todos os termos se cancelam em cadeia, sobrando apenas o primeiro e o último. Isso transforma uma soma longa em uma expressão simples, e o limite dessa expressão quando o número de termos cresce indefinidamente é o que a questão pede.

A identidade fundamental é 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1). Ela vale porque, ao subtrair as duas frações, o denominador comum é k(k+1) e o numerador fica (k+1) - k = 1. Quando somamos de k=1 até n, cada termo cancela com o seguinte, restando 1 - 1/(n+1). Quando n cresce, 1/(n+1) tende a zero, então o limite é 1. Essa técnica só funciona quando o denominador é um produto de dois números consecutivos.

Esta questão cobra exatamente essa decomposição e o cancelamento em cadeia. O passo crucial é reconhecer o padrão e aplicar a identidade, depois tomar o limite e interpretar a fração irredutível.

O que a questão dá

  • soma S = 1/(1·2) + 1/(2·3) + ... + 1/(n·(n+1))

  • n é um número natural

  • limite de S quando n tende ao infinito é a/b, com a e b naturais e fração irredutível

O que queremos: o valor de a + b

Passo 1 — Reescrever cada termo como diferença

Cada termo da soma tem a forma 1/(k(k+1)), e essa forma é especial: ela pode ser decomposta em duas frações mais simples. Essa decomposição é o que permite o cancelamento em cadeia, então é o primeiro passo para simplificar a soma.

Por que esta fórmula: Queremos encontrar A e B tais que 1/(k(k+1)) = A/k + B/(k+1). Multiplicando por k(k+1), obtemos 1 = A(k+1) + Bk = (A+B)k + A. Para que isso valha para todo k, o coeficiente de k deve ser zero e o termo constante deve ser 1, então A+B=0 e A=1, logo B=-1.

1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

De onde vem cada valor: kk = definição: índice da soma, varia de 1 a n

1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}

identidade válida para todo k natural

NÃO CAIA NESSA!

Tentar somar as frações diretamente sem decompor, o que leva a contas longas e erradas

Passo 2 — Aplicar a identidade a cada termo da soma

Com a identidade pronta, substituímos cada termo da soma original pela diferença correspondente. Isso revela o padrão de cancelamento.

Por que esta fórmula: Aplicamos a identidade para k=1,2,...,n, substituindo cada fração original pela diferença.

S=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)

De onde vem cada valor: 1−1/21 - 1/2 = passo 1 com k=1 · 1/2−1/31/2 - 1/3 = passo 1 com k=2 · 1/n−1/(n+1)1/n - 1/(n+1) = passo 1 com k=n

S=(1−1/2)+(1/2−1/3)+...+(1/n−1/(n+1))S = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1))

SS = soma reescrita como diferenças

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de aplicar a identidade a todos os termos, ou aplicar errado em algum

Passo 3 — Cancelar os termos intermediários

Ao escrever a soma como diferenças, vemos que cada fração aparece duas vezes: uma positiva e uma negativa, exceto a primeira e a última. Cancelar esses pares é o que simplifica a soma.

Por que esta fórmula: Observando a soma, o -1/2 do primeiro parêntese cancela com o +1/2 do segundo, e assim por diante. Sobram apenas o primeiro termo (1) e o último termo (-1/(n+1)).

S=1−1n+1S = 1 - \frac{1}{n+1}

De onde vem cada valor: 11 = passo 2: primeiro termo da primeira diferença · −1/(n+1)-1/(n+1) = passo 2: último termo da última diferença

S=1−1n+1S = 1 - \frac{1}{n+1}
S=1 −1/(n+1)S = \boxed{1\ - 1/(\text{n}+1)}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber o cancelamento e tentar somar tudo, ou cancelar termos que não são iguais

Passo 4 — Calcular o limite quando n tende ao infinito

Agora que a soma está simplificada, podemos analisar o que acontece quando o número de termos cresce sem limite. A fração 1/(n+1) fica cada vez menor, tendendo a zero.

Por que esta fórmula: O limite de 1 - 1/(n+1) quando n→∞ é 1 - 0 = 1, pois 1/(n+1) tende a 0.

lim⁡n→∞S=lim⁡n→∞(1−1n+1)=1\lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1

De onde vem cada valor: 11 = passo 3 · 1/(n+1)1/(n+1) = passo 3

lim⁡n→∞S=1−0=1\lim_{n \to \infty} S = 1 - 0 = 1
limite=1limite = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que o limite é 0 ou infinito, ou esquecer que 1/(n+1) tende a 0

Passo 5 — Interpretar a fração irredutível e somar a e b

O enunciado diz que o limite é a/b, com a e b naturais e fração irredutível. Como o limite é 1, temos a/b = 1, e a única representação irredutível é 1/1, então a=1 e b=1.

Por que esta fórmula: 1 pode ser escrito como 1/1, e essa fração já é irredutível porque o único divisor comum de 1 e 1 é 1. Portanto, a=1 e b=1.

a+b=1+1=2a + b = 1 + 1 = 2

De onde vem cada valor: aa = passo 4: numerador da fração irredutível, igual a 1 · bb = passo 4: denominador da fração irredutível, igual a 1

a+b=1+1=2=2a + b = 1 + 1 = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Escrever 1 como 2/2 ou outra fração não irredutível, ou esquecer que a fração deve ser irredutível

Resposta: a + b = 2 — alternativa A

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