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Questão de Matemática — Funções reais de variável real (cálculo diferencial e integral) — FGV 2024

MatemáticaFunções reais de variável real (cálculo diferencial e integral)
Código
fg164503
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Cargo
Ana TI ( )
O limite \underset{ x →\rightarrow 0}{lim} 1−cos(2x)x2\dfrac{1-cos(2x)}{x^2}é igual a
  1. A14\frac{1}{4}
  2. B12\frac{1}{2}
  3. C1
  4. D2
  5. E4
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GabaritoD — 2

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Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 2 — alternativa D.

A ideia por trás

O limite de uma função quando x se aproxima de um valor pergunta: para qual número a função se aproxima, mesmo que ela não esteja definida exatamente naquele ponto? Aqui, substituir x = 0 dá 0/0, uma indeterminação — a função não tem valor definido ali, mas pode tender a um número finito. Para descobrir esse número, precisamos reescrever a expressão de um jeito que o denominador não zere.

A identidade do arco duplo do cosseno, cos(2x) = 1 - 2sen²x, é uma ferramenta que transforma o cosseno de um ângulo dobrado em uma expressão com seno ao quadrado. Ela é útil aqui porque o seno ao quadrado se relaciona com o limite fundamental lim_{u→0} sen(u)/u = 1, que é um resultado clássico: quando o ângulo (em radianos) tende a zero, o seno dele é praticamente igual ao próprio ângulo. Esse limite vale 1 e é a base para resolver muitos limites trigonométricos.

Esta questão cobra exatamente essa combinação: aplicar a identidade do arco duplo para transformar o numerador e então usar o limite fundamental. O passo crítico é não esquecer o fator 2 que a identidade introduz.

O que a questão dá

  • limite de (1 - cos(2x))/x² quando x tende a 0

O que queremos: o valor desse limite

Passo 1 — Reescrever o numerador com a identidade do arco duplo

Substituir x = 0 diretamente dá 0/0, uma indeterminação. Precisamos transformar a expressão para que o denominador x² possa ser simplificado. A identidade do cosseno do arco duplo é a chave: ela troca o cosseno por uma expressão com seno ao quadrado, que se encaixa no limite fundamental.

Por que esta fórmula: A identidade cos(2x) = 1 - 2sen²x é uma das fórmulas do arco duplo. Rearranjando, 1 - cos(2x) = 2sen²x. Essa é a forma que permite dividir por x² e usar o limite fundamental.

1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x1 - \cos(2x) = 2\sin^{2} x

De onde vem cada valor: cos⁡(2x)\cos(2x) = enunciado: o numerador original é 1 - cos(2x)

1−cos⁡(2x)=2sin⁡2x=2 sen2x1 - \cos(2x) = 2\sin^{2} x = \boxed{2\ \text{sen}^{2}\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a identidade errada, como cos(2x) = 1 - sen²x, o que daria um fator errado.

Passo 2 — Substituir no limite e separar o fator constante

Com o numerador reescrito, o limite fica com 2sen²x sobre x². O fator 2 é constante e pode sair do limite, deixando uma expressão que lembra o quadrado do limite fundamental.

Por que esta fórmula: A propriedade de limites permite tirar a constante multiplicativa: lim (c·f(x)) = c·lim f(x). E escrever (sen x / x)² é apenas uma reorganização algébrica.

\lim_x to 0 frac2sin^2 xx^2 = 2 · \lim_x to 0 ((sin x)/(x))^2

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: fator da identidade · sin⁡2x\sin^{2} x = passo 1: numerador reescrito · x2x^{2} = enunciado: denominador original

\lim_x to 0 frac2sin^2 xx^2 = 2 · \lim_x to 0 ((sin x)/(x))^2 = 2\ · lim (sen x / x)^2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 2 e trabalhar só com (sen x / x)², o que levaria à alternativa C.

Passo 3 — Aplicar o limite fundamental do seno

Agora a expressão está na forma exata do limite fundamental: lim_{x→0} sen(x)/x = 1. Esse é um resultado conhecido, que pode ser demonstrado geometricamente ou por L'Hôpital, e é a base para resolver este tipo de limite.

Por que esta fórmula: O limite fundamental é lim_{u→0} sen(u)/u = 1. Aqui u = x, então aplicamos diretamente. Como o limite está ao quadrado, elevamos o resultado ao quadrado também.

lim⁡x→0(sin⁡xx)2=12=1\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} = 1^{2} = 1

De onde vem cada valor: sin⁡x\sin x = passo 2: expressão original · xx = passo 2: denominador

lim⁡x→0(sin⁡xx)2=12=1=1\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} = 1^{2} = 1 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o limite fundamental vale 2 ou 0,5 — ele vale exatamente 1.

Passo 4 — Multiplicar pelo fator que ficou de fora

O limite original tinha o fator 2 que separamos no passo 2. Agora que sabemos que o limite do quadrado vale 1, basta multiplicar por 2 para obter o valor final.

Por que esta fórmula: A propriedade de limites garante que lim (c·f(x)) = c·lim f(x), então o fator 2 permanece multiplicando o resultado.

2⋅1=22 \cdot 1 = 2

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: fator constante · 11 = passo 3: valor do limite fundamental

2⋅1=2=22 \cdot 1 = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo 2 e responder 1, ou multiplicar por 4 por engano.

Resposta: 2 — alternativa D

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