Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 3.400,00 — alternativa C.

A ideia por trás

Este problema mistura geometria com otimização. Temos um rio de largura fixa e um ponto C na outra margem, deslocado horizontalmente. O fio pode ir por terra (barato) até um ponto B na margem e depois atravessar o rio (caro). O trecho submerso é a hipotenusa de um triângulo retângulo, então o Teorema de Pitágoras relaciona os comprimentos. O custo total é a soma dos custos de cada trecho, e queremos o ponto B que minimize esse custo.

Se chamarmos de x a distância percorrida por terra a partir de A, e de L a distância horizontal total entre A e o ponto diretamente oposto a C, então o trecho horizontal submerso mede L - x. O comprimento do fio submerso é a hipotenusa: √(100² + (L-x)²). O custo total é C(x) = 3x + 5√(100² + (L-x)²). Para minimizar, derivamos e igualamos a zero. A derivada é C'(x) = 3 - 5·(L-x)/√(100² + (L-x)²). Igualando a zero, obtemos (L-x) = 75, ou seja, o trecho submerso ótimo é sempre 125 m, independentemente de L. Isso acontece porque a razão entre os custos (5/3) determina o ângulo ótimo de travessia.

Esta questão cobra exatamente esse ponto de equilíbrio: encontrar o comprimento do trecho submerso que minimiza o custo, usando Pitágoras e derivada. A distância horizontal total L não é dada no enunciado, mas está implícita na figura; precisamos identificá-la para calcular o custo final.

O que a questão dá

• largura do rio = 100 m

• custo do fio na água = R$ 5,00/m

• custo do fio fora d'água = R$ 3,00/m

• distância horizontal total entre A e o ponto oposto a C = 1000 m (implícita na figura)

O que queremos: o menor gasto possível para fazer a ligação

Passo 1 — Identificar a distância horizontal total L

A figura mostra que o ponto C está a 1000 m de distância horizontal do ponto A (medido ao longo da margem). Esse valor não está no texto, mas é essencial para calcular o trecho por terra. Sem ele, não há como achar o custo.

Passo 2 — Montar a função de custo total

O custo depende de onde colocamos o ponto B na margem. Se andarmos x metros por terra, o trecho submerso terá comprimento √(100² + (L-x)²). O custo é a soma do trecho barato (3x) com o caro (5 vezes o comprimento submerso).

Por que esta fórmula: É a definição de custo: preço por metro vezes quantidade de metros. O trecho submerso é a hipotenusa do triângulo retângulo, então usamos Pitágoras.

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: custo do fio fora d'água · $x$ = definição: distância percorrida por terra (variável) · $5$ = enunciado: custo do fio na água · $100$ = enunciado: largura do rio · $L$ = passo 1: 1000 m

Passo 3 — Derivar o custo e igualar a zero

Para achar o ponto de mínimo, usamos o fato de que a derivada se anula no ponto ótimo. A derivada mede como o custo varia com x; no mínimo, essa variação é zero.

Por que esta fórmula: A derivada da soma é a soma das derivadas. A derivada de 3x é 3. A derivada de 5√(100² + (L-x)²) é 5·(1/(2√(...)))·2(L-x)·(-1) = -5(L-x)/√(...).

De onde vem cada valor: $3$ = definição: derivada de 3x · $5$ = enunciado: custo do fio na água · $L-x$ = definição: cateto horizontal do triângulo · $100$ = enunciado: largura do rio

Passo 4 — Isolar o cateto horizontal submerso

A equação da derivada tem a incógnita dentro da raiz. Para resolvê-la, isolamos a fração e depois elevamos ao quadrado, eliminando a raiz.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: primeiro passamos o termo com 5 para o outro lado, depois elevamos ambos os lados ao quadrado para sumir com a raiz.

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3 · $5$ = passo 3 · $L-x$ = passo 3 · $100$ = passo 3

Passo 5 — Elevar ao quadrado e resolver para L-x

Elevar ao quadrado elimina a raiz e transforma a equação em uma equação polinomial simples. Depois isolamos (L-x)² e tiramos a raiz quadrada.

Por que esta fórmula: Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtemos 9 = 25·(L-x)²/(10000 + (L-x)²). Multiplicando em cruz e simplificando, chegamos a (L-x)² = 5625.

De onde vem cada valor: $9$ = definição: 3² · $10000$ = definição: 100² · $25$ = definição: 5²

Passo 6 — Calcular o comprimento do fio submerso

Com o cateto horizontal de 75 m e o vertical de 100 m, aplicamos Pitágoras para achar a hipotenusa, que é o comprimento do fio que vai na água.

Por que esta fórmula: É o Teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos.

De onde vem cada valor: $100$ = enunciado: largura do rio · $75$ = passo 5

Passo 7 — Calcular o trecho por terra x

Sabemos que L - x = 75 e L = 1000, então x = 1000 - 75 = 925 m. Esse é o comprimento do fio fora d'água.

Por que esta fórmula: Relação direta: x = L - (L-x).

De onde vem cada valor: $L$ = passo 1: 1000 m · $L-x$ = passo 5: 75 m

Passo 8 — Calcular o custo total mínimo

Com os comprimentos dos dois trechos, multiplicamos cada um pelo seu custo por metro e somamos. Esse é o gasto mínimo procurado.

Por que esta fórmula: Custo total = (custo por metro fora) × (metros fora) + (custo por metro na água) × (metros na água).

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: custo fora d'água · $x$ = passo 7: 925 m · $5$ = enunciado: custo na água · $h$ = passo 6: 125 m

$C$ = R$ 3.400,00

Resposta: R$ 3.400,00 — alternativa C