Questão de Matemática — Definição, Subconjuntos, Inclusão e Pertinência, Operações, Conjunto das Partes — FGV 2024

Conjuntos: pertinência, inclusão e operações

Gabarito: letra D. A condição ∀x ∈ A, ∃y ∈ B tal que x + y = 7 impõe que B contenha, para cada elemento de A, um complemento que some 7. Como A = {2, 3, 5}, os complementos são 5, 4 e 2, respectivamente. Assim, B deve conter pelo menos {2, 4, 5}, mas pode conter outros elementos. A diferença A − B é o conjunto dos elementos de A que não estão em B. Como B contém 2 e 5, esses elementos não estão em A − B. O elemento 3 de A pode ou não estar em B, então A − B pode ser {3} ou vazio. Em qualquer caso, A − B tem, no máximo, 1 elemento. As demais alternativas fazem afirmações categóricas sobre a composição exata de B, que não é totalmente determinada pela condição.

A questão trabalha com a relação entre conjuntos e a lógica dos quantificadores. A condição "∀x ∈ A, ∃y ∈ B tal que x + y = 7" significa: para cada elemento x de A, existe (pelo menos um) elemento y em B tal que a soma seja 7. Isso não diz que B tem apenas esses elementos, nem que cada y é único. Vamos analisar:

• Para x = 2, precisamos de y = 5 em B.

• Para x = 3, precisamos de y = 4 em B.

• Para x = 5, precisamos de y = 2 em B.

Portanto, B deve conter, no mínimo, os elementos {2, 4, 5}. Mas B pode ter outros elementos, como 1, 3, 6, etc., desde que a condição seja satisfeita. A condição não restringe B a ter apenas esses elementos.

A diferença A − B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não em B. Como B contém 2 e 5 (obrigatoriamente), esses elementos não estão em A − B. O elemento 3 de A pode ou não estar em B. Se 3 ∈ B, então A − B = ∅. Se 3 ∉ B, então A − B = {3}. Em ambos os casos, A − B tem no máximo 1 elemento. A alternativa D afirma exatamente isso.

A pegadinha da questão é que muitos candidatos assumem que B = {2, 4, 5} (o conjunto mínimo), mas a condição não garante isso. B pode ter outros elementos, o que invalida as alternativas que fazem afirmações categóricas sobre a união, interseção ou diferença B − A. A única afirmação que é sempre verdadeira, independentemente dos elementos extras de B, é a da alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que A ∩ B = {2, 5}. Isso seria verdade se B = {2, 4, 5}, mas B pode conter outros elementos. Por exemplo, se B = {2, 4, 5, 3}, então A ∩ B = {2, 3, 5}, não {2, 5}. A interseção depende dos elementos extras de B, que não são determinados pela condição. O erro é assumir que B tem exatamente os elementos mínimos necessários.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que A ∪ B = {2, 3, 4, 5}. Isso também seria verdade apenas se B = {2, 4, 5}. Mas B pode ter outros elementos, como 1, 6, 7, etc. Por exemplo, se B = {2, 4, 5, 1}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, não {2, 3, 4, 5}. A união depende dos elementos extras de B, que não são determinados. O erro é o mesmo da alternativa A: assumir que B é exatamente o conjunto mínimo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que B − A tem, no máximo, 1 elemento. B − A é o conjunto dos elementos de B que não estão em A. Como B pode ter infinitos elementos além de {2, 4, 5}, B − A pode ter muitos elementos. Por exemplo, se B = {2, 4, 5, 1, 6, 7}, então B − A = {1, 6, 7}, que tem 3 elementos. A condição não limita o número de elementos de B, então B − A pode ter mais de 1 elemento. O erro é confundir a diferença A − B com B − A e não perceber que B pode ser grande.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que A − B tem, no máximo, 1 elemento. Como vimos, B deve conter 2 e 5 (para satisfazer a condição com x = 2 e x = 5). Portanto, 2 e 5 não estão em A − B. O elemento 3 de A pode ou não estar em B. Se 3 ∈ B, então A − B = ∅. Se 3 ∉ B, então A − B = {3}. Em ambos os casos, A − B tem no máximo 1 elemento. Esta é a única afirmação que é sempre verdadeira, independentemente dos elementos extras de B.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que A − B é conjunto vazio. Isso só seria verdade se 3 ∈ B, mas a condição não garante isso. B pode não conter 3, caso em que A − B = {3}, que não é vazio. A condição exige que B contenha 2, 4 e 5, mas não proíbe nem obriga a presença de 3. Portanto, A − B pode ser vazio ou {3}, mas não é necessariamente vazio. O erro é assumir que B contém todos os elementos de A, o que não é exigido.

Gabarito: letra D — A − B tem, no máximo, 1 elemento, pois B contém obrigatoriamente 2 e 5, e o elemento 3 de A pode ou não estar em B.