Considere uma matriz numérica em que as linhas (L) são contadas de 1 em diante, de cima para baixo e as colunas (C) são contadas de 1 em diante, da esquerda para a direita. Cada elemento da matriz tem seu valor definido pela regra a seguir: valor em linha L e coluna C=\begin{cases}1, se \, L + C \, é \, ímpar \\ 0, se \, L \, + C \, é \, par \end{cases} Se essa matriz tiver 11 linhas e 11 colunas, a soma de todos os seus elementos será igual a
A60.
B56.
C54.
D52.
E48.
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GabaritoA — 60.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 60 — alternativa A.
A ideia por trás
Uma matriz é uma tabela de números organizados em linhas e colunas. Cada posição é identificada pelo par (linha, coluna), e o valor que ali aparece pode ser dado por uma regra, como esta: vale 1 quando a soma dos índices é ímpar e 0 quando é par. Isso cria um padrão alternado, parecido com um tabuleiro de xadrez.
A soma de todos os elementos é simplesmente o total de posições que recebem o valor 1, pois as que recebem 0 não contribuem. Para contar quantas posições têm L+C ímpar, separamos as linhas em pares e ímpares: em 11 linhas, há 6 ímpares e 5 pares, e o mesmo vale para as colunas. A soma é ímpar quando um índice é par e o outro é ímpar, então multiplicamos as quantidades: linhas ímpares × colunas pares + linhas pares × colunas ímpares.
Esta questão cobra exatamente essa contagem: identificar quantas posições têm soma ímpar em uma matriz 11×11 e somar os 1s. Não é preciso montar a matriz inteira, apenas aplicar a lógica de paridade.
O que a questão dá
matriz com 11 linhas e 11 colunas
regra: valor = 1 se L+C é ímpar, 0 se L+C é par
O que queremos: a soma de todos os elementos da matriz
Passo 1 — Contar linhas e colunas ímpares e pares
A regra depende da paridade de L e C, então precisamos saber quantas linhas e colunas são ímpares e quantas são pares. Em 11 números, os ímpares são 1, 3, 5, 7, 9, 11 (6 no total) e os pares são 2, 4, 6, 8, 10 (5 no total).
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem direta dos números de 1 a 11.
Achar que há 5 ímpares e 6 pares, invertendo a contagem — lembre que 11 é ímpar, então há um ímpar a mais.
Passo 2 — Calcular quantos elementos valem 1
A soma L+C é ímpar quando um índice é par e o outro é ímpar. Então os elementos com valor 1 são aqueles em que a linha é ímpar e a coluna é par, mais aqueles em que a linha é par e a coluna é ímpar.
Por que esta fórmula: Multiplicamos as quantidades de linhas e colunas de cada tipo porque cada combinação de uma linha com uma coluna forma uma posição distinta.
De onde vem cada valor: = passo 1: 6 · = passo 1: 5 · = passo 1: 5 · = passo 1: 6
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer uma das duas combinações e contar apenas 30, ou contar também as combinações ímpar-ímpar e par-par, que dão soma par.
Passo 3 — Somar os valores da matriz
Cada elemento com valor 1 contribui com 1 para a soma total; os elementos com valor 0 não contribuem. Portanto, a soma de todos os elementos é exatamente o número de elementos que valem 1.
Por que esta fórmula: A soma é a contagem dos 1s, pois 0 não altera a soma.
De onde vem cada valor: = passo 2: 60
NÃO CAIA NESSA!
Tentar somar todos os 121 elementos individualmente, o que é trabalhoso e propenso a erro; a contagem é mais rápida.