Questão de Matemática — Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Naturais — FGV 2024

Tabuleiro 8×8: paridade da soma e do produto

Gabarito: letra E — trocando a adição pela multiplicação na regra de cores, o tabuleiro passa a ter 48 casas brancas e 16 casas pretas. Isso porque o produto $L \times C$ é par sempre que pelo menos um dos fatores é par, e ímpar apenas quando ambos são ímpares — e há exatamente 16 pares $(L, C)$ com ambos os números ímpares.

A questão explora a diferença entre duas regras de paridade sobre uma matriz 8×8. Na regra original, a cor da casa depende da paridade da soma $L + C$: se a soma é par, a casa é branca; se é ímpar, preta. Como em um tabuleiro 8×8 há 32 casas com soma par e 32 com soma ímpar, o tabuleiro tradicional tem 32 casas brancas e 32 pretas — o famoso padrão xadrez.

Ao trocar a adição pela multiplicação, a lógica muda completamente. O produto $L \times C$ é:

• par quando pelo menos um dos fatores é par (ou seja, quando $L$ é par OU $C$ é par);

• ímpar somente quando ambos os fatores são ímpares.

Vamos contar quantas casas têm produto ímpar. As linhas ímpares são 1, 3, 5, 7 — quatro linhas. As colunas ímpares são 1, 3, 5, 7 — quatro colunas. O número de pares $(L, C)$ com ambos ímpares é $4 \times 4 = 16$. Portanto, 16 casas terão produto ímpar (pretas, pela regra dada). As demais $64 - 16 = 48$ casas terão produto par (brancas).

A pegadinha clássica aqui é o aluno aplicar a mesma lógica da soma (metade par, metade ímpar) ao produto, o que levaria a 32 e 32 — mas a multiplicação não distribui a paridade de forma simétrica como a adição. Outro erro comum é contar apenas as casas onde $L$ é par e $C$ é par (16 casas), esquecendo que basta um dos fatores ser par para o produto ser par.

Guarde o critério decisivo: produto ímpar exige ambos os fatores ímpares — é exatamente essa contagem que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que haveria 8 casas brancas e 56 pretas. Esse número não corresponde a nenhuma contagem natural da matriz: 8 seria o número de casas de uma única linha ou coluna, não o total de casas com produto par. O produto é par em 48 casas, não em 8.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma 16 casas brancas e 48 pretas. Aqui há uma inversão: 16 é exatamente o número de casas com produto ímpar (pretas), e 48 é o número com produto par (brancas). A alternativa troca as cores — é a armadilha central da questão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma 24 casas brancas e 40 pretas. Esses números não correspondem a nenhuma contagem da matriz 8×8 sob a regra do produto. 24 e 40 não surgem de nenhuma combinação natural de linhas e colunas pares/ímpares.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma 36 casas brancas e 28 pretas. Também não corresponde à contagem correta. 36 e 28 não derivam de nenhuma partição natural da matriz sob a regra do produto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma 48 casas brancas e 16 pretas. Correto: o produto $L \times C$ é ímpar apenas quando $L$ e $C$ são ambos ímpares — há 4 linhas ímpares e 4 colunas ímpares, totalizando $4 \times 4 = 16$ casas pretas. As demais $64 - 16 = 48$ casas têm produto par e são brancas.

Gabarito: letra E