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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg164521
Banca
FGV
Órgão
TJ MT
Ano
2024
Cargo
AJ ( )
Um corpo com dimensões desprezíveis está em uma posição do plano cartesiano descrita pelo ponto P_0 = (0,b).   Partindo de P_0, esse corpo se move 3 unidades no sentido positivo do eixo das abscissas (eixo x) e 1 unidade no sentido negativo do eixo das ordenadas (eixo y) e, com isso, alcança o ponto P_1. A partir de P_1, esse corpo se move 2 unidades no sentido positivo do eixo x e 2 unidades no sentido negativo do eixo y e, com isso, alcança o ponto P_2 = (a,0).   É correto concluir que a soma b+a é igual a
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a b + a = 8 — alternativa E.

A ideia por trás

No plano cartesiano, cada ponto é um par ordenado (x, y): o primeiro número é a posição horizontal (eixo das abscissas) e o segundo é a vertical (eixo das ordenadas). Mover-se no sentido positivo do eixo x significa andar para a direita, aumentando o valor de x; mover-se no sentido negativo do eixo y significa andar para baixo, diminuindo o valor de y. Cada deslocamento é uma soma (ou subtração) nas coordenadas correspondentes.

Se um ponto parte de (x0, y0) e se move Δx na horizontal e Δy na vertical, o novo ponto é (x0 + Δx, y0 + Δy). O sinal de Δx e Δy depende do sentido: positivo para direita/cima, negativo para esquerda/baixo. Somar os deslocamentos sucessivos equivale a somar as variações em cada eixo separadamente.

Esta questão pede para aplicar essa soma de deslocamentos duas vezes, partindo de P0 e chegando a P2, e depois comparar as coordenadas finais com o ponto dado (a, 0) para descobrir a e b.

O que a questão dá

  • ponto inicial P0 = (0, b)

  • primeiro deslocamento: 3 unidades no sentido positivo de x e 1 unidade no sentido negativo de y

  • segundo deslocamento: 2 unidades no sentido positivo de x e 2 unidades no sentido negativo de y

  • ponto final P2 = (a, 0)

O que queremos: o valor da soma b + a

Passo 1 — Calcular a posição após o primeiro deslocamento

Precisamos saber onde o corpo está depois de cada movimento para, no fim, comparar com o ponto final dado. O primeiro deslocamento é de 3 unidades para a direita (x aumenta) e 1 unidade para baixo (y diminui).

Por que esta fórmula: A nova coordenada x é a antiga mais o deslocamento horizontal; a nova coordenada y é a antiga mais o deslocamento vertical (com sinal negativo porque é para baixo).

P1=(x0+Δx1,y0+Δy1)P_1 = (x_0 + \Delta x_1, y_0 + \Delta y_1)

De onde vem cada valor: x0x_0 = enunciado: 0 · Δx1\Delta x_1 = enunciado: 3 (sentido positivo de x) · y0y_0 = enunciado: b · Δy1\Delta y_1 = enunciado: -1 (sentido negativo de y)

P1=(0+3,b−1)P_1 = (0 + 3, b - 1)
P1=(3,b−1)P_1 = \boxed{(3, \text{b} - 1)}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 1 em vez de subtrair na coordenada y, esquecendo que sentido negativo de y é para baixo.

Passo 2 — Calcular a posição após o segundo deslocamento

O segundo deslocamento parte de P1 e leva ao ponto final P2. Precisamos somar mais 2 unidades em x (para a direita) e subtrair 2 unidades em y (para baixo).

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: a nova posição é a anterior mais o deslocamento, com o sinal conforme o sentido.

P2=(x1+Δx2,y1+Δy2)P_2 = (x_1 + \Delta x_2, y_1 + \Delta y_2)

De onde vem cada valor: x1x_1 = passo 1: 3 · Δx2\Delta x_2 = enunciado: 2 (sentido positivo de x) · y1y_1 = passo 1: b - 1 · Δy2\Delta y_2 = enunciado: -2 (sentido negativo de y)

P2=(3+2,(b−1)−2)P_2 = (3 + 2, (b - 1) - 2)
P2=(5,b−3)P_2 = \boxed{(5, \text{b} - 3)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o 2 do y, ou somar os deslocamentos de x e y de forma cruzada.

Passo 3 — Igualar as coordenadas de P2 às dadas

O enunciado afirma que P2 = (a, 0). Como já temos P2 em função de b, comparamos as coordenadas: a primeira deve ser a, a segunda deve ser 0. Isso nos dá duas equações simples.

Por que esta fórmula: Dois pontos são iguais se e somente se suas coordenadas correspondentes são iguais. Então igualamos x com x e y com y.

a=5eb−3=0a = 5 \quad \text{e} \quad b - 3 = 0

De onde vem cada valor: aa = enunciado: P2 = (a, 0) · 55 = passo 2: coordenada x de P2 · b−3b - 3 = passo 2: coordenada y de P2 · 00 = enunciado: coordenada y de P2

a=5,b−3=0a = 5, \quad b - 3 = 0

a = 5, b = 3

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: colocar a = 0 e b = 5, ou esquecer que a coordenada y de P2 é 0.

Passo 4 — Somar os valores de b e a

A pergunta final é a soma b + a. Já temos os dois valores, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: Soma direta dos dois números encontrados.

b+a=3+5b + a = 3 + 5

De onde vem cada valor: bb = passo 3: 3 · aa = passo 3: 5

b+a=3+5=8b + a = 3 + 5 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado ou usar os valores trocados (a = 3, b = 5).

Resposta: b + a = 8 — alternativa E

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