GabaritoA — 60 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a 60 cm — alternativa A.
O triângulo equilátero é o polígono de três lados em que todos os lados e todos os ângulos internos (60°) são iguais. Essa simetria total permite usar fórmulas específicas para ele, que não valem para triângulos escalenos ou isósceles. A área mede a superfície ocupada, em cm², e o perímetro é a soma dos comprimentos dos três lados, em cm.
A área de um triângulo equilátero de lado L é dada por A = (L²√3)/4. Essa fórmula vem da geral A = (base × altura)/2, usando a altura h = (L√3)/2, obtida pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura, que divide a base ao meio. A área cresce com o QUADRADO do lado: dobrar o lado QUADRUPLICA a área. O perímetro, por sua vez, é simplesmente P = 3L, pois os três lados são iguais.
Esta questão fornece a área e pede o perímetro. O caminho é sempre o mesmo: isolar o lado na fórmula da área e depois multiplicar por 3. Vamos aplicar isso ao caso concreto.
área do triângulo = 100√3 cm²
triângulo equilátero (todos os lados iguais)
O que queremos: o perímetro do triângulo
Temos a área e queremos o lado. A fórmula da área do triângulo equilátero é a ponte entre essas duas grandezas, então começamos escrevendo a igualdade com o valor fornecido.
Por que esta fórmula: A fórmula A = (L²√3)/4 é específica do triângulo equilátero, pois usa a altura derivada da simetria. Não podemos usar a fórmula geral A = (base × altura)/2 diretamente, pois não conhecemos a altura.
De onde vem cada valor: = definição: lado do triângulo equilátero · = enunciado: área do triângulo
Confundir a fórmula com a do hexágono regular (A = (3L²√3)/2) ou com a área de um triângulo qualquer.
A raiz de três aparece multiplicando nos dois lados da equação. Como ela é um fator comum, podemos dividir ambos os lados por √3 para simplificar e isolar o termo com L².
Por que esta fórmula: Dividir os dois lados de uma equação pelo mesmo número (diferente de zero) mantém a igualdade. Aqui, √3 é positivo e não nulo, então a operação é válida.
De onde vem cada valor: = passo 1: termo com o lado · = passo 1: denominador da fórmula · = passo 1: após cancelar √3
Esquecer de cancelar √3 e tentar resolver com ela ainda presente, complicando a conta.
A equação agora tem L² dividido por 4 igual a 100. Para achar L, precisamos primeiro deixar L² sozinho, multiplicando os dois lados por 4.
Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 4 desfaz a divisão por 4, isolando L².
De onde vem cada valor: = passo 2: termo com o lado · = passo 2: 100 × 4
Errar a multiplicação: 100 × 4 = 400, não 40.
L² = 400, e L é um comprimento, portanto positivo. A raiz quadrada de 400 é 20, pois 20 × 20 = 400.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado. Como o lado não pode ser negativo, tomamos apenas a raiz positiva.
De onde vem cada valor: = passo 3: valor de L²
Esquecer a raiz e usar L = 400, ou errar a raiz (achar que é 10).
O perímetro é a soma dos três lados iguais do triângulo equilátero. Com o lado já conhecido, basta multiplicar por 3.
Por que esta fórmula: P = 3L é a definição de perímetro para um triângulo equilátero, pois todos os lados têm o mesmo comprimento.
De onde vem cada valor: = definição: número de lados do triângulo equilátero · = passo 4: 20 cm
Esquecer de multiplicar por 3 e responder 20 cm, ou multiplicar por 2 por engano.
Resposta: 60 cm — alternativa A
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