Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg164525

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 42 soldados — alternativa C.

A ideia por trás

Quando soldados são dispostos em fileiras e colunas com espaçamento fixo, o número de soldados em cada direção é igual ao comprimento dividido pelo espaçamento, mais um, porque há um soldado em cada extremidade. Por exemplo, em um lado de 2 m com espaçamento de 1 m, cabem 3 soldados: um no início, um no meio e um no fim. O total de soldados é o produto do número de soldados em cada dimensão.

A relação é: número de soldados em um lado = (medida do lado ÷ espaçamento) + 1. Como o espaçamento é 1 m, isso vira medida + 1. O total é o produto dos dois lados: (L1 + 1) × (L2 + 1). Essa fórmula vale porque cada vértice é contado uma vez em cada lado, e o produto conta cada ponto da grade exatamente uma vez.

Esta questão pede para aplicar essa contagem ao novo retângulo: calcular quantos soldados cabem em cada lado (medida + 1) e multiplicar. O erro comum é confundir com a área, que seria apenas o produto das medidas.

O que a questão dá

retângulo original: 2 m × 3 m
soldados no retângulo original: 12
espaçamento entre soldados: 1 m
novo retângulo: 5 m × 6 m

O que queremos: o número de soldados no novo retângulo com a mesma formação

Passo 1 — Descobrir quantos soldados cabem em cada lado

Precisamos saber quantos soldados há em cada direção para depois multiplicar. Como o espaçamento é de 1 m, em um lado de 5 m cabem 5 intervalos de 1 m, mas há um soldado em cada extremidade, então são 5 + 1 = 6 soldados. O mesmo raciocínio vale para o lado de 6 m: 6 + 1 = 7 soldados.

Por que esta fórmula: A fórmula é (medida ÷ espaçamento) + 1, porque o número de intervalos é a medida dividida pelo espaçamento, e o número de pontos é o número de intervalos mais um (o ponto inicial). Como o espaçamento é 1 m, isso simplifica para medida + 1.

n_{lado} = \frac{L}{d} + 1

De onde vem cada valor: $L$ = enunciado: 5 m e 6 m · $d$ = enunciado: 1 m

n_{5} = \frac{5}{1} + 1 = 6, \quad n_{6} = \frac{6}{1} + 1 = 7 = \boxed{6\ \text{soldados} \text{em} \text{um} \text{lado}, 7 \text{no} \text{outro}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 e usar apenas a medida (5 e 6), o que daria 30 no final.

Passo 2 — Multiplicar os soldados das duas direções

Com o número de soldados em cada lado, o total é o produto, pois cada combinação de posição horizontal e vertical forma um soldado. Isso conta todos os pontos da grade, incluindo os vértices.

Por que esta fórmula: O total de pontos em uma grade retangular é o produto do número de pontos em cada dimensão, porque cada ponto é definido por uma posição em cada eixo.

N = n_{5} \times n_{6}

De onde vem cada valor: $n_{5}$ = passo 1: 6 · $n_{6}$ = passo 1: 7

N = 6 \times 7 = \boxed{42\ \text{soldados}}

NÃO CAIA NESSA!

Calcular a área 5 × 6 = 30, esquecendo que os vértices adicionam um soldado em cada lado.

Resposta: 42 soldados — alternativa C