Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FGV 2024

Sequência numérica definida por fórmula: análise de paridade, monotonicidade e recorrência

Gabarito: letra A. A sequência $a_n = 2^n + 5 \times (-1)^{n-1}$ é sempre ímpar, pois $2^n$ é par e $5 \times (-1)^{n-1}$ é ímpar (5 ou -5), e a soma de um par com um ímpar é sempre ímpar. Portanto, não há números pares na sequência.

Vamos entender a sequência na prática. O termo geral é composto por duas partes: $2^n$, que é sempre uma potência de 2 (2, 4, 8, 16, ...), e $5 \times (-1)^{n-1}$, que alterna entre 5 (quando $n$ é ímpar, pois $(-1)^{n-1} = 1$) e -5 (quando $n$ é par, pois $(-1)^{n-1} = -1$). Assim, a sequência é:

• $a_1 = 2^1 + 5 \times (-1)^0 = 2 + 5 = 7$

• $a_2 = 2^2 + 5 \times (-1)^1 = 4 - 5 = -1$

• $a_3 = 2^3 + 5 \times (-1)^2 = 8 + 5 = 13$

• $a_4 = 2^4 + 5 \times (-1)^3 = 16 - 5 = 11$

• $a_5 = 2^5 + 5 \times (-1)^4 = 32 + 5 = 37$

• $a_6 = 2^6 + 5 \times (-1)^5 = 64 - 5 = 59$

A sequência é: 7, -1, 13, 11, 37, 59, ...

A paridade é o ponto central. Um número é par se for divisível por 2, e ímpar caso contrário. A soma de um número par com um número ímpar é sempre ímpar. Como $2^n$ é sempre par (para $n \geq 1$) e $5 \times (-1)^{n-1}$ é sempre ímpar (5 ou -5), a soma é sempre ímpar. Isso elimina a alternativa A como correta, pois afirma que não há números pares — o que é verdade.

A alternativa B afirma que todos os números são menores que o sucessor. Isso é falso, pois $a_3 = 13$ e $a_4 = 11$; o sucessor de 13 é 11, que é menor. A sequência não é estritamente crescente.

A alternativa C afirma que não há números negativos. Isso é falso, pois $a_2 = -1$.

A alternativa D afirma que a diferença entre quaisquer dois números consecutivos é sempre a mesma. Isso é falso, pois $a_2 - a_1 = -1 - 7 = -8$, enquanto $a_3 - a_2 = 13 - (-1) = 14$. As diferenças não são constantes.

A alternativa E afirma que há repetição de números. Isso é falso, pois a sequência é estritamente crescente em valor absoluto e os termos são distintos. Podemos provar que não há repetição: se $a_n = a_m$ com $n \neq m$, então $2^n + 5(-1)^{n-1} = 2^m + 5(-1)^{m-1}$. Mas como $2^n$ cresce exponencialmente e o termo $5(-1)^{n-1}$ é limitado entre -5 e 5, a diferença entre dois termos distintos nunca é zero. Mais formalmente, para $n > m$, $a_n - a_m = 2^n - 2^m + 5[(-1)^{n-1} - (-1)^{m-1}]$. O termo $2^n - 2^m$ é pelo menos $2^{m+1} - 2^m = 2^m$, que é maior que 10 para $m \geq 4$, enquanto o termo entre colchetes é no máximo 10 em valor absoluto. Portanto, a diferença nunca é zero.

A pegadinha desta questão está em analisar a paridade sem calcular os termos. O candidato pode ser tentado a calcular alguns termos e verificar cada alternativa, mas a análise da paridade é mais direta e elegante.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que não há números pares. Como $2^n$ é sempre par e $5 \times (-1)^{n-1}$ é sempre ímpar (5 ou -5), a soma é sempre ímpar. Portanto, a afirmação é correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que todos os números são menores que o seu sucessor. Isso é falso, pois $a_3 = 13$ e $a_4 = 11$; o sucessor de 13 é 11, que é menor. A sequência não é estritamente crescente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que não há números negativos. Isso é falso, pois $a_2 = -1$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que a diferença entre quaisquer dois números consecutivos é sempre a mesma. Isso é falso, pois $a_2 - a_1 = -1 - 7 = -8$, enquanto $a_3 - a_2 = 13 - (-1) = 14$. As diferenças não são constantes.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que há repetição de números. Isso é falso, pois a sequência é estritamente crescente em valor absoluto e os termos são distintos. Podemos provar que não há repetição: se $a_n = a_m$ com $n \neq m$, então $2^n + 5(-1)^{n-1} = 2^m + 5(-1)^{m-1}$. Mas como $2^n$ cresce exponencialmente e o termo $5(-1)^{n-1}$ é limitado entre -5 e 5, a diferença entre dois termos distintos nunca é zero. Mais formalmente, para $n > m$, $a_n - a_m = 2^n - 2^m + 5[(-1)^{n-1} - (-1)^{m-1}]$. O termo $2^n - 2^m$ é pelo menos $2^{m+1} - 2^m = 2^m$, que é maior que 10 para $m \geq 4$, enquanto o termo entre colchetes é no máximo 10 em valor absoluto. Portanto, a diferença nunca é zero.

Gabarito: letra A