Diagramas lógicos e proposições categóricas: resolvendo com conjuntos
Gabarito: letra D. Se (¬p ∨ ¬q) é falso, então ¬p é falso e ¬q é falso, logo p é verdadeiro e q é verdadeiro. Isso significa que: (1) todo colaborador com salário ≥ R$ 5.000 está lotado no departamento Y, e (2) todos os lotados em Y têm graduação. A alternativa D é a única que decorre logicamente dessas premissas: quem não tem graduação não pode estar em Y (por q), e se não está em Y, não pode ter salário ≥ R$ 5.000 (por p, pela contrapositiva).
Vamos entender o raciocínio por partes. Primeiro, precisamos interpretar as proposições dadas. A proposição p é uma condicional: "se o colaborador tem salário mensal de, pelo menos, R$ 5.000,00, então está lotado no departamento Y da empresa X". Simbolicamente, se chamarmos de S = "tem salário ≥ R$ 5.000" e Y = "está lotado no departamento Y", temos p: S → Y. A proposição q é uma proposição categórica universal: "todos os colaboradores lotados no departamento Y da empresa X possuem, ao menos, uma graduação". Se chamarmos de G = "possui graduação", temos q: Y → G (todo Y é G).
O enunciado nos diz que (¬p ∨ ¬q) tem valor lógico falso. Uma disjunção inclusiva (ou) só é falsa quando ambos os componentes são falsos. Portanto, ¬p é falso e ¬q é falso. Se ¬p é falso, então p é verdadeiro. Se ¬q é falso, então q é verdadeiro. Conclusão: tanto p quanto q são proposições verdadeiras.
Agora, com p e q verdadeiros, temos duas condicionais verdadeiras: S → Y e Y → G. Pela transitividade do condicional, podemos concluir que S → G (se tem salário ≥ R$ 5.000, então tem graduação). Mas a questão pede uma conclusão que decorra das premissas. Vamos analisar cada alternativa.
A alternativa D afirma: "colaboradores que não possuem graduação têm salário mensal abaixo de R$ 5.000,00". Isso é a contrapositiva da conclusão S → G. A contrapositiva de S → G é ¬G → ¬S, que é logicamente equivalente. Portanto, se não tem graduação (¬G), então não tem salário ≥ R$ 5.000 (¬S), ou seja, tem salário abaixo de R$ 5.000. Essa é a conclusão correta.
Vamos ver por que as outras alternativas estão erradas. A alternativa A afirma que qualquer colaborador com graduação tem salário ≥ R$ 5.000. Isso seria G → S, que é a recíproca da conclusão, e não é logicamente válida. A alternativa B afirma que qualquer colaborador lotado em Y tem salário ≥ R$ 5.000. Isso seria Y → S, que é a recíproca de p, e não é válida. A alternativa C afirma que há colaboradores com graduação que não estão em Y. Isso seria G ∧ ¬Y, que não é garantido pelas premissas. A alternativa E afirma que há colaboradores em Y sem salário ≥ R$ 5.000. Isso seria Y ∧ ¬S, que também não é garantido.
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que qualquer colaborador com graduação tem salário ≥ R$ 5.000. Isso é a recíproca da conclusão S → G, que não é logicamente válida. As premissas não garantem que todos os graduados ganham esse salário; apenas que quem ganha esse salário tem graduação.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que qualquer colaborador lotado em Y tem salário ≥ R$ 5.000. Isso é a recíproca de p (S → Y), que não é válida. As premissas garantem que quem tem salário ≥ R$ 5.000 está em Y, mas não que todos em Y ganham esse salário.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que há colaboradores com graduação que não estão em Y. Isso seria G ∧ ¬Y, que não é garantido pelas premissas. As premissas apenas dizem que quem está em Y tem graduação, mas não dizem nada sobre graduados fora de Y.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que colaboradores sem graduação têm salário abaixo de R$ 5.000. Isso é a contrapositiva da conclusão S → G, que é logicamente equivalente. Como S → G é verdadeira, ¬G → ¬S também é verdadeira. Portanto, quem não tem graduação não tem salário ≥ R$ 5.000, ou seja, tem salário abaixo de R$ 5.000.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que há colaboradores em Y sem salário ≥ R$ 5.000. Isso seria Y ∧ ¬S, que não é garantido pelas premissas. As premissas garantem que quem tem salário ≥ R$ 5.000 está em Y, mas não dizem nada sobre a possibilidade de existirem colaboradores em Y com salário menor.
Gabarito: letra D