Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — FGV 2024

Equivalências Lógicas: Contraposta da Condicional

Gabarito: letra B. A afirmação "Se tenho namorada então não fico sozinho" é uma condicional da forma $p \rightarrow \sim q$. Sua equivalente lógica clássica é a contraposta: $q \rightarrow \sim p$, ou seja, "Se fico sozinho então não tenho namorada". Essa é uma das equivalências fundamentais da lógica proposicional, junto com a transformação da condicional em disjunção ($p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$).

A lógica proposicional trabalha com proposições (frases declarativas que podem ser verdadeiras ou falsas) e conectivos que as combinam. A condicional "se... então..." ($\rightarrow$) é um desses conectivos, e ela possui propriedades específicas que geram equivalências importantes. Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem exatamente a mesma tabela-verdade, ou seja, são verdadeiras e falsas nas mesmas situações.

A equivalência mais cobrada envolvendo a condicional é a contraposta. Dada a condicional $p \rightarrow q$, sua contraposta é $\sim q \rightarrow \sim p$. Elas são sempre equivalentes, independentemente do conteúdo das proposições. Isso faz sentido intuitivamente: se afirmo "se chove, então a rua fica molhada", posso igualmente afirmar "se a rua não está molhada, então não choveu".

Outra equivalência fundamental é a transformação da condicional em disjunção: $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$. Ou seja, "se chove, então a rua fica molhada" equivale a "não chove ou a rua fica molhada". Essa transformação é útil em diversas manipulações lógicas.

É crucial destacar o que não é equivalente. A condicional não é comutativa: $p \rightarrow q$ não equivale a $q \rightarrow p$. Também não equivale à negação do antecedente ($\sim p \rightarrow \sim q$). A banca FGV explora exatamente esses erros clássicos, oferecendo alternativas que parecem plausíveis mas invertem ou negam os termos incorretamente.

Vamos aplicar isso à questão. Definimos:

• $p$: "Tenho namorada"

• $q$: "Fico sozinho"

A afirmação original é $p \rightarrow \sim q$ ("Se tenho namorada, então não fico sozinho").

Aplicando a regra da contraposta, invertemos os termos e negamos ambos:

• Original: $p \rightarrow \sim q$

• Contraposta: $\sim(\sim q) \rightarrow \sim p$, que simplifica para $q \rightarrow \sim p$

Traduzindo $q \rightarrow \sim p$ para linguagem natural: "Se fico sozinho, então não tenho namorada". Essa é exatamente a alternativa B.

A pegadinha central desta questão é a tentação de escolher a alternativa A ("Se não fico sozinho então tenho namorada"), que é a recíproca da afirmação original. A recíproca ($\sim q \rightarrow p$) não é equivalente à condicional original. A banca conta com o candidato que confunde contraposta com recíproca.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta é a recíproca da afirmação original. A recíproca de $p \rightarrow \sim q$ é $\sim q \rightarrow p$ ("Se não fico sozinho, então tenho namorada"). A condicional não é comutativa, ou seja, $p \rightarrow q$ não equivale a $q \rightarrow p$. Portanto, inverter os termos sem negá-los não produz uma proposição equivalente. A banca explora exatamente essa confusão entre recíproca e contraposta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a contraposta da afirmação original. A contraposta de $p \rightarrow \sim q$ é $q \rightarrow \sim p$ ("Se fico sozinho, então não tenho namorada"). A contraposta é sempre logicamente equivalente à condicional original, pois possuem a mesma tabela-verdade. Esta é a equivalência clássica que a questão cobra.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta é a negação do antecedente (também chamada de inversa). A inversa de $p \rightarrow \sim q$ é $\sim p \rightarrow q$ ("Se não tenho namorada, então fico sozinho"). A inversa não é equivalente à condicional original. A banca oferece essa alternativa para testar se o candidato sabe que negar apenas o antecedente não preserva a equivalência lógica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta é a negação da condicional original. A negação de $p \rightarrow \sim q$ é $p \land q$ ("Tenho namorada e fico sozinho"), que é diferente de "Tenho namorada e não fico sozinho" ($p \land \sim q$). Na verdade, a alternativa D apresenta a conjunção $p \land \sim q$, que é a negação da negação da condicional, ou seja, não é equivalente à condicional original. A negação de uma condicional $p \rightarrow q$ é $p \land \sim q$; aqui, a negação de $p \rightarrow \sim q$ seria $p \land q$. A alternativa D troca os termos e não representa nem a negação correta nem uma equivalência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta é a transformação da condicional em disjunção, mas aplicada incorretamente. A equivalência correta é $p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \lor \sim q$ ("Não tenho namorada ou não fico sozinho"). A alternativa E apresenta $p \lor \sim q$ ("Tenho namorada ou não fico sozinho"), que não é equivalente. A banca troca o antecedente negado ($\sim p$) pelo antecedente original ($p$), criando um distrator que parece plausível para quem conhece a regra mas não a aplica com precisão.

Gabarito: letra B