Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — FGV 2024

Equivalências Lógicas: distributividade da disjunção sobre a conjunção

Gabarito: letra A. A proposição $\bar{p} \lor (q \land r)$ é logicamente equivalente a $(\bar{p} \lor q) \land (\bar{p} \lor r)$ pela propriedade distributiva da disjunção em relação à conjunção — a mesma estrutura algébrica da distributividade da multiplicação sobre a adição. A questão testa exatamente o reconhecimento dessa equivalência canônica, que é uma das mais cobradas em Raciocínio Lógico.

A equivalência lógica é uma relação entre proposições que possuem exatamente a mesma tabela-verdade, ou seja, assumem os mesmos valores lógicos (V ou F) para todas as combinações possíveis de valores das proposições simples que as compõem. Quando duas proposições são equivalentes, podemos substituir uma pela outra em qualquer contexto sem alterar o valor lógico do todo — é como trocar uma expressão por outra de mesmo significado.

A propriedade distributiva é um dos pilares da lógica proposicional. Ela estabelece que a disjunção (ou) se distribui sobre a conjunção (e), e vice-versa. Em termos simbólicos, temos duas formas:

• $p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$ — distributividade do "ou" sobre o "e";

• $p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$ — distributividade do "e" sobre o "ou".

No caso da questão, a expressão dada é $(\bar{p} \lor q) \land (\bar{p} \lor r)$. Observe que o termo $\bar{p}$ aparece repetido em ambas as conjunções internas. Aplicando a distributividade inversa — ou seja, "fatorando" o termo comum — obtemos exatamente $\bar{p} \lor (q \land r)$. É o mesmo raciocínio de fatoração da álgebra tradicional: $ab + ac = a(b+c)$.

Para verificar na prática, podemos construir a tabela-verdade das duas proposições. Considere todas as 8 combinações de valores para $p$, $q$ e $r$. Em cada linha, calculamos o valor de $(\bar{p} \lor q) \land (\bar{p} \lor r)$ e de $\bar{p} \lor (q \land r)$. Em todas as linhas, os valores coincidem — o que confirma a equivalência. Por exemplo, quando $p=V$, $q=V$, $r=F$: $\bar{p}=F$, então $\bar{p} \lor q = V$, $\bar{p} \lor r = F$, e a conjunção dá $F$. Do outro lado, $q \land r = F$, e $F \lor F = F$. Os valores batem.

A pegadinha clássica desta questão é confundir a distributividade com a simples troca de conectivos, ou aplicar a distributividade de forma incorreta, trocando o conectivo interno. Muitos candidatos, ao verem a estrutura $(\bar{p} \lor q) \land (\bar{p} \lor r)$, tentam "distribuir" de qualquer jeito e acabam escolhendo alternativas que misturam os conectivos de forma errada, como $\bar{p} \land (q \lor r)$ ou $\bar{p} \lor (\bar{q} \land \bar{r})$.

Guarde a regra de ouro: quando um mesmo termo aparece repetido em uma estrutura de conjunção de disjunções (ou disjunção de conjunções), a fatoração pela distributividade é o caminho. É exatamente esse padrão que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa reproduz fielmente a aplicação da propriedade distributiva. Partindo de $(\bar{p} \lor q) \land (\bar{p} \lor r)$, fatoramos o termo comum $\bar{p}$ e obtemos $\bar{p} \lor (q \land r)$. A equivalência é garantida pela distributividade da disjunção sobre a conjunção, uma das equivalências notáveis da lógica proposicional. A tabela-verdade das duas expressões é idêntica, confirmando a equivalência lógica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa troca o conectivo central: em vez de $\lor$ (ou), usa $\land$ (e). A expressão $\bar{p} \land (q \lor r)$ não é equivalente à proposição original. Para verificar, basta um contraexemplo: se $p=V$, $q=V$, $r=F$, então $\bar{p}=F$, e a expressão original vale $F$ (como calculado acima), enquanto $\bar{p} \land (q \lor r) = F \land V = F$ — neste caso coincidem, mas em outros não. Por exemplo, com $p=F$, $q=V$, $r=F$: original = $(V \lor V) \land (V \lor F) = V \land V = V$; alternativa B = $V \land (V \lor F) = V \land V = V$. Ainda coincide. Mas com $p=F$, $q=F$, $r=V$: original = $(V \lor F) \land (V \lor V) = V \land V = V$; alternativa B = $V \land (F \lor V) = V \land V = V$. Parece que sempre coincide? Não — teste com $p=F$, $q=F$, $r=F$: original = $(V \lor F) \land (V \lor F) = V \land V = V$; alternativa B = $V \land (F \lor F) = V \land F = F$. Aqui os valores divergem, provando que não são equivalentes. O erro está em trocar o conectivo principal de $\lor$ para $\land$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa aplica a negação às proposições internas, resultando em $\bar{p} \lor (\bar{q} \land \bar{r})$. Isso corresponderia a negar $q$ e $r$, o que não é o caso na proposição original. A expressão original mantém $q$ e $r$ sem negação. Um contraexemplo: com $p=F$, $q=V$, $r=V$: original = $(V \lor V) \land (V \lor V) = V$; alternativa C = $V \lor (F \land F) = V \lor F = V$. Coincide aqui, mas com $p=F$, $q=V$, $r=F$: original = $V$; alternativa C = $V \lor (F \land V) = V \lor F = V$. Ainda coincide. Com $p=V$, $q=V$, $r=V$: original = $(F \lor V) \land (F \lor V) = V$; alternativa C = $F \lor (F \land F) = F \lor F = F$. Divergem — não são equivalentes. O erro está em negar indevidamente $q$ e $r$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa combina dois erros: troca o conectivo principal para $\land$ e ainda nega $q$ e $r$, resultando em $\bar{p} \land (\bar{q} \land \bar{r})$. É a negação completa da estrutura, mas não a equivalente. Com $p=F$, $q=V$, $r=V$: original = $V$; alternativa D = $V \land (F \land F) = V \land F = F$. Divergem claramente. O erro é duplo: conectivo trocado e negações indevidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa $p \land q \land r$ é completamente diferente da proposição original. Ela afirma que $p$, $q$ e $r$ são todas verdadeiras, enquanto a original envolve a negação de $p$ e uma estrutura de disjunção. Com $p=F$, $q=V$, $r=V$: original = $V$; alternativa E = $F \land V \land V = F$. Divergem. O erro é não considerar a negação de $p$ e a estrutura de disjunção/conjunção da proposição original.

A regra de ouro para questões de equivalência é sempre verificar se a transformação aplicada preserva a tabela-verdade. A distributividade é uma ferramenta poderosa, mas deve ser aplicada com precisão, sem trocar conectivos ou negar proposições indevidamente.

Gabarito: letra A