Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — FGV 2024

Equivalências lógicas da condicional: contrapositiva e a regra do "ou"

Gabarito: letra C. A afirmação "Se João toma café então não dorme" é uma condicional $p \rightarrow q$ (com $p$ = "João toma café" e $q$ = "João não dorme"). A conclusão correta é a contrapositiva $\sim q \rightarrow \sim p$: "Se João dorme então não tomou café" — exatamente o que a alternativa C afirma. Essa é uma das equivalências fundamentais da lógica proposicional, ao lado da transformação em disjunção ($\sim p \lor q$).

A lógica proposicional estuda proposições — frases declarativas que podem ser verdadeiras ou falsas — e os conectivos que as combinam. O conectivo condicional ($\rightarrow$, "se... então...") é um dos mais importantes e também um dos que mais geram confusão. A proposição $p \rightarrow q$ ("se $p$, então $q$") só é falsa quando o antecedente $p$ é verdadeiro e o consequente $q$ é falso; em todos os outros casos, é verdadeira. Essa característica é a chave para entender as equivalências.

Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, quando têm o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis. Para a condicional, existem duas equivalências clássicas que caem em provas:

1. Contrapositiva: $p \rightarrow q \iff \sim q \rightarrow \sim p$ — inverte e nega ambos os termos.

2. Transformação em disjunção: $p \rightarrow q \iff \sim p \lor q$ — nega o antecedente e mantém o consequente com "ou".

Vamos aplicar isso ao caso concreto. Seja:

• $p$: "João toma café"

• $q$: "João não dorme"

A afirmação original é $p \rightarrow q$. Aplicando a contrapositiva, obtemos $\sim q \rightarrow \sim p$, que em linguagem natural é: "Se João não não dorme, então João não toma café". A dupla negação "não não dorme" equivale a "dorme". Portanto, a contrapositiva é: "Se João dorme, então não tomou café" — exatamente a alternativa C.

A outra equivalência, a transformação em disjunção, nos daria: $\sim p \lor q$ = "João não toma café ou não dorme". Note que essa forma não aparece entre as alternativas — a alternativa D diz "João toma café ou dorme", que é uma proposição diferente e não equivalente.

É fundamental não confundir a contrapositiva com a recíproca ($q \rightarrow p$) ou com a inversa ($\sim p \rightarrow \sim q$). A recíproca de "Se João toma café então não dorme" seria "Se João não dorme então tomou café" (alternativa B), e a inversa seria "Se João não toma café então dorme" (alternativa A). Nenhuma dessas é logicamente equivalente à proposição original. A única equivalente entre as opções é a contrapositiva.

A pegadinha clássica desta questão é justamente essa: o candidato confunde a contrapositiva com a recíproca ou com a inversa. A banca oferece essas duas armadilhas nas alternativas A e B, e ainda uma disjunção incorreta na D. O critério decisivo é lembrar que, para uma condicional, a única equivalência que envolve "se... então..." é a contrapositiva: inverte e nega. Guarde isso e a questão se resolve em segundos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

"Se João não toma café então dorme" é a inversa da proposição original ($\sim p \rightarrow \sim q$). A inversa não é logicamente equivalente à condicional $p \rightarrow q$. Para verificar, basta pensar: se João não toma café, a afirmação original não nos diz nada sobre ele dormir ou não — ele pode dormir ou não, e a proposição original continua verdadeira. Portanto, a inversa não é uma conclusão válida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

"Se João não dorme então tomou café" é a recíproca da proposição original ($q \rightarrow p$). A recíproca também não é equivalente à condicional. O erro aqui é inverter a ordem sem negar: a contrapositiva correta exige inverter E negar ambos os termos. A recíproca apenas inverte, o que não preserva o valor lógico.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

"Se João dorme então não tomou café" é a contrapositiva da proposição original. Como vimos, $p \rightarrow q \iff \sim q \rightarrow \sim p$. Aqui, $\sim q$ = "João dorme" (já que $q$ = "João não dorme") e $\sim p$ = "João não tomou café". A contrapositiva é sempre logicamente equivalente à condicional original, portanto esta é a conclusão correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

"João toma café ou dorme" ($p \lor \sim q$) não é equivalente à condicional original. A equivalência correta envolvendo disjunção seria $\sim p \lor q$ = "João não toma café ou não dorme". A alternativa D troca os sinais: em vez de negar o antecedente ($\sim p$), mantém o antecedente ($p$), e em vez de manter o consequente ($q$), nega o consequente ($\sim q$). Isso produz uma proposição completamente diferente.

Gabarito: letra C