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Questão de Raciocínio Lógico — Outros Exercícios de Lógica — FGV 2024

Raciocínio LógicoOutros Exercícios de Lógica
Código
fg165063
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2024
Cargo
Sarg ( )
Cinco times disputaram um torneio em que cada um deles joga contra os demais duas vezes. Em cada jogo, a vitória vale 3 pontos para o vencedor e 0 (zero) para o perdedor e o empate vale 1 ponto para cada time. Ao final do torneio, dois times ficaram empatados em primeiro lugar com o mesmo número de pontos. A maior pontuação que cada um deles pode ter feito é
  1. A21.
  2. B22.
  3. C23.
  4. D24.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 21.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 21 pontos — alternativa A.

A ideia por trás

Em um torneio de pontos corridos, cada time acumula pontos conforme seus resultados: vitória dá 3, empate dá 1 e derrota dá 0. A pontuação final de um time é a soma dos pontos de todos os seus jogos. Aqui, o torneio tem turno e returno, ou seja, cada par de times se enfrenta duas vezes.

Com 5 times, cada time joga contra os outros 4, e como são dois turnos, cada time faz 8 jogos no total. A pontuação máxima teórica seria vencer todos os 8 jogos, dando 8 × 3 = 24 pontos. Porém, se dois times estão empatados em primeiro, eles não podem ter vencido todos os jogos, pois nos confrontos diretos entre eles, um não pode vencer os dois se o outro também vencer todos. Assim, a pontuação de cada líder é limitada pelos resultados dos jogos entre eles.

Para maximizar a pontuação de ambos os líderes, eles devem vencer todos os jogos contra os outros três times (6 vitórias = 18 pontos) e, nos dois confrontos diretos, dividir os pontos de forma que ambos fiquem com o mesmo total. A melhor divisão é cada um vencer um jogo e perder o outro, somando 3 pontos cada nos confrontos diretos, totalizando 21 pontos.

O que a questão dá

  • 5 times no torneio

  • cada time joga contra os demais duas vezes (turno e returno)

  • vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto para cada

  • dois times empatados em primeiro lugar

O que queremos: a maior pontuação que cada um dos dois líderes pode ter feito

Passo 1 — Calcular quantos jogos cada time faz

Precisamos saber quantos jogos cada time disputa para calcular a pontuação máxima possível. Como são 5 times e cada um enfrenta os outros 4, e o torneio é em turno e returno, cada time joga 4 × 2 = 8 partidas.

Por que esta fórmula: O número de jogos por time é o número de adversários (4) multiplicado pelo número de turnos (2).

J=(n−1)×2J = (n-1) \times 2

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 5 times

J=(5−1)×2=4×2=8=8 jogosportimeJ = (5-1) \times 2 = 4 \times 2 = 8 = \boxed{8\ \text{jogos} \text{por} \text{time}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o turno e returno e calcular apenas 4 jogos.

Passo 2 — Calcular a pontuação máxima teórica

Sabendo que cada time faz 8 jogos, a pontuação máxima absoluta seria vencer todos eles. Isso nos dá um teto, mas depois veremos que o empate em primeiro reduz esse teto.

Por que esta fórmula: Cada vitória vale 3 pontos, então o máximo é 8 vitórias × 3 pontos.

Pmax=8×3P_{max} = 8 \times 3

De onde vem cada valor: 88 = passo 1: 8 jogos por time · 33 = enunciado: vitória vale 3 pontos

Pmax=8×3=24=24 pontosP_{max} = 8 \times 3 = 24 = \boxed{24\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 24 é a resposta, mas isso só seria possível se um time vencesse todos, o que impediria o empate em primeiro.

Passo 3 — Perceber que os líderes não podem vencer todos

Se dois times estão empatados em primeiro, eles não podem ter vencido todos os jogos, porque nos confrontos diretos entre eles, um teria que perder para o outro. Portanto, a pontuação máxima de cada um é limitada pelos resultados desses confrontos.

NÃO CAIA NESSA!

Ignorar a condição de empate e responder 24.

Passo 4 — Maximizar pontos contra os outros times

Para que os dois líderes tenham a maior pontuação possível, eles devem vencer todos os jogos contra os outros três times. Cada líder enfrenta cada um dos outros 3 times duas vezes, totalizando 6 jogos, todos vencidos.

Por que esta fórmula: Cada vitória dá 3 pontos, então 6 vitórias dão 6 × 3 = 18 pontos.

Poutros=6×3P_{outros} = 6 \times 3

De onde vem cada valor: 66 = passo 1: 8 jogos por time, menos 2 jogos contra o outro líder, sobra 6 jogos contra os outros times · 33 = enunciado: vitória vale 3 pontos

Poutros=6×3=18=18 pontosP_{outros} = 6 \times 3 = 18 = \boxed{18\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas 3 jogos contra os outros times, esquecendo o returno.

Passo 5 — Analisar os confrontos diretos entre os líderes

Resta decidir o que acontece nos dois jogos entre os dois líderes. Para que ambos fiquem com a mesma pontuação, as opções são: empatar os dois jogos (cada um ganha 2 pontos) ou cada um vencer um jogo (cada um ganha 3 pontos). A segunda opção dá mais pontos.

Por que esta fórmula: Se cada líder vencer um jogo e perder o outro, cada um ganha 3 pontos (3 + 0). Se empatarem os dois, cada um ganha 2 pontos (1 + 1).

NÃO CAIA NESSA!

Pensar que empatar os dois jogos é melhor, mas isso dá menos pontos.

Passo 6 — Calcular a pontuação final de cada líder

Somamos os pontos das vitórias contra os outros times com os pontos dos confrontos diretos. No melhor caso, cada líder tem 18 + 3 = 21 pontos.

Por que esta fórmula: A pontuação total é a soma das duas partes.

Ptotal=Poutros+PdiretoP_{total} = P_{outros} + P_{direto}

De onde vem cada valor: PoutrosP_{outros} = passo 4: 18 pontos · PdiretoP_{direto} = passo 5: 3 pontos (cada líder vence um jogo)

Ptotal=18+3=21=21 pontosP_{total} = 18 + 3 = 21 = \boxed{21\ \text{pontos}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 18 + 2 = 20, que é o caso de empates nos confrontos diretos, mas não é o máximo.

Resposta: 21 pontos — alternativa A

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