Questão de Raciocínio Lógico — Lógica de Primeira Ordem — FGV 2024

Lógica de Primeira Ordem: negação de quantificadores e Leis de Morgan

Gabarito: letra B. A proposição dada, $\neg \exists p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$, é a negação de um quantificador existencial seguida de uma disjunção. Pela equivalência lógica, negar "existe um p tal que (¬E(p) ∨ ¬A(p))" equivale a afirmar "para todo p, não (¬E(p) ∨ ¬A(p))", que, pela Lei de Morgan, se torna "para todo p, E(p) ∧ A(p)". Ou seja, todos os pintores renascentistas foram escultores e arquitetos.

Para resolver essa questão, precisamos dominar duas ferramentas da lógica: a negação de quantificadores e as Leis de Morgan. A negação de um quantificador existencial ($\exists$) é um quantificador universal ($\forall$), e vice-versa. Além disso, a negação de uma disjunção ($\lor$) é a conjunção ($\land$) das negações, e a negação de uma conjunção é a disjunção das negações. Vamos aplicar isso passo a passo.

A proposição original é $\neg \exists p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$. O escopo do quantificador existencial é a expressão $(\neg E(p) \lor \neg A(p))$. Ao negar o quantificador, ele se torna universal: $\forall p\, \neg(\neg E(p) \lor \neg A(p))$. Agora, aplicamos a Lei de Morgan à negação da disjunção: $\neg(\neg E(p) \lor \neg A(p))$ é equivalente a $\neg\neg E(p) \land \neg\neg A(p)$, que simplifica para $E(p) \land A(p)$. Portanto, a proposição inteira equivale a $\forall p\,(E(p) \land A(p))$, que se lê: "para todo pintor renascentista p, p foi escultor e p foi arquiteto". Isso é exatamente o que a alternativa B afirma.

Vamos pensar em um exemplo concreto para fixar. Suponha que o conjunto P tenha apenas dois pintores: Leonardo e Rafael. A proposição $\neg \exists p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$ afirma que não existe um pintor que não foi escultor ou não foi arquiteto. Isso significa que não há ninguém que falhe em pelo menos uma das duas qualidades. Logo, todos devem ter ambas as qualidades: Leonardo foi escultor e arquiteto, e Rafael foi escultor e arquiteto. Se houvesse um pintor que não fosse escultor, a disjunção $\neg E(p) \lor \neg A(p)$ seria verdadeira para ele, e o existencial seria verdadeiro, contradizendo a negação. Portanto, a única interpretação possível é a universal afirmativa.

A pegadinha clássica desta questão é inverter o sentido da negação. Muitos candidatos, ao verem $\neg \exists$, pensam em "nenhum", mas esquecem de aplicar a Lei de Morgan à disjunção interna. Eles podem concluir erroneamente que a proposição significa "nenhum pintor foi escultor ou arquiteto" (alternativa E) ou que houve pintores que foram uma coisa mas não a outra (alternativas C e D). A chave é lembrar que a negação de "existe alguém que é A ou B" é "todos não são A e não são B", ou seja, a negação distribui sobre o conectivo, trocando o "ou" por "e" e negando cada parte.

Guarde a sequência de transformações: $\neg \exists p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$ → $\forall p\, \neg(\neg E(p) \lor \neg A(p))$ → $\forall p\,(E(p) \land A(p))$. É essa cadeia que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "nenhum pintor renascentista foi arquiteto e escultor". Isso seria a negação de $\exists p\,(E(p) \land A(p))$, ou seja, $\neg \exists p\,(E(p) \land A(p))$, que equivale a $\forall p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$. Note que a proposição dada é exatamente o oposto: ela nega a existência de quem não tem pelo menos uma das propriedades, o que força todos a terem ambas. Portanto, a alternativa A inverte completamente o sentido lógico.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a proposição $\neg \exists p\,(\neg E(p) \lor \neg A(p))$ é logicamente equivalente a $\forall p\,(E(p) \land A(p))$, que se traduz exatamente como "todos os pintores renascentistas foram arquitetos e escultores". A alternativa espelha a equivalência obtida pela negação do quantificador e pela Lei de Morgan.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que "houve pintores renascentistas que foram arquitetos, mas não escultores". Isso corresponde a $\exists p\,(A(p) \land \neg E(p))$. Se isso fosse verdade, existiria um pintor para o qual $\neg E(p)$ é verdadeiro, tornando a disjunção $\neg E(p) \lor \neg A(p)$ verdadeira, o que contradiz a proposição original. Portanto, a alternativa C é incompatível com a premissa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "houve pintores renascentistas que foram escultores, mas não arquitetos". Isso corresponde a $\exists p\,(E(p) \land \neg A(p))$. Analogamente à alternativa C, isso implicaria que $\neg A(p)$ é verdadeiro para algum pintor, tornando a disjunção verdadeira e contradizendo a negação do existencial. Logo, a alternativa D também é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que "houve pintores renascentistas que não foram arquitetos e nem escultores". Isso corresponde a $\exists p\,(\neg A(p) \land \neg E(p))$. Se existisse tal pintor, tanto $\neg E(p)$ quanto $\neg A(p)$ seriam verdadeiros, e a disjunção $\neg E(p) \lor \neg A(p)$ seria verdadeira, contradizendo a proposição original. Portanto, a alternativa E é igualmente incompatível.

A regra de ouro para questões de negação de quantificadores é: ao negar um quantificador, inverta-o (existencial vira universal e vice-versa) e aplique a Lei de Morgan ao conteúdo, trocando o conectivo e negando as partes. Aqui, a negação de "existe alguém que não é escultor ou não é arquiteto" é "todos são escultores e arquitetos".

Gabarito: letra B