Raciocínio Lógico · FGV · 2024 | Questão sqc-fg165068

Princípio da Casa dos Pombos: garantindo uma bola de cada cor

Gabarito: letra C. A quantidade original de bolas pretas é 4, pois, para garantir pelo menos uma bola de cada cor, o número mínimo de retiradas é a soma das quantidades das duas cores mais numerosas mais 1. Com 4 bolas pretas, o mínimo é 4 + 5 + 1 = 10; com uma preta a mais (5), o mínimo passa a 5 + 5 + 1 = 11. O número 4 está entre 3,5 e 5,5.

O Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio de Dirichlet) afirma que, se distribuirmos mais pombos do que casas, pelo menos uma casa terá mais de um pombo. Em problemas de retirada de bolas, a aplicação prática é pensar no pior cenário possível: para garantir que teremos uma bola de cada cor, devemos considerar que, nas primeiras retiradas, saem todas as bolas das cores mais numerosas, e só depois a bola da cor menos numerosa.

A regra geral para garantir pelo menos uma de cada cor é: somar as quantidades de todas as cores, exceto a menos numerosa, e adicionar 1. Isso porque, no pior caso, retiramos todas as bolas das outras cores antes de conseguir a bola da cor que queremos garantir. Por exemplo, se temos 3 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde, para garantir uma verde, precisamos retirar 3 + 2 + 1 = 6 bolas (todas as brancas, todas as pretas e mais uma, que será a verde).

Nesta questão, temos 4 bolas brancas, 5 azuis e um número desconhecido de pretas (P). O enunciado diz que, com a quantidade original, o mínimo N é 10. Isso significa que a soma das duas cores mais numerosas mais 1 é igual a 10. Como 4 + 5 = 9, e 9 + 1 = 10, concluímos que as cores mais numerosas são branca e azul, e a preta é a menos numerosa (P < 4). Se houvesse uma bola preta a mais (P + 1), o mínimo seria 11. Nesse novo cenário, a soma das duas cores mais numerosas mais 1 é 11. Se P + 1 ainda fosse menor que 4, a soma continuaria 4 + 5 + 1 = 10, o que contradiz o enunciado. Portanto, P + 1 deve ser maior ou igual a 5, e a soma das duas maiores seria 5 + 5 + 1 = 11 (se P + 1 = 5) ou 5 + (P+1) + 1 (se P + 1 > 5). Para que a soma seja exatamente 11, precisamos que P + 1 = 5, logo P = 4.

Vamos verificar: com P = 4, as quantidades são 4 brancas, 5 azuis e 4 pretas. As duas cores mais numerosas são azul (5) e branca (4) ou preta (4). A soma é 5 + 4 + 1 = 10. Com P = 5, as quantidades são 4 brancas, 5 azuis e 5 pretas. As duas mais numerosas são azul (5) e preta (5), soma 5 + 5 + 1 = 11. O raciocínio confirma que a quantidade original de bolas pretas é 4.

A pegadinha desta questão é que o candidato pode tentar resolver por tentativa e erro, mas o método correto é identificar que o número mínimo de retiradas é sempre a soma das duas maiores quantidades mais 1. A banca explora exatamente essa inversão: em vez de perguntar o valor de N, ela fornece N e pede a quantidade de bolas pretas, exigindo que o aluno monte a equação correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca inverte o raciocínio usual: em vez de dar as quantidades e pedir o N mínimo, ela dá o N mínimo e pede a quantidade de bolas pretas. O candidato que não domina a fórmula (soma das duas maiores + 1) pode se perder. Lembre-se: para garantir uma de cada cor, o pior caso é retirar todas as bolas das duas cores mais numerosas e depois uma da terceira cor.

1Somar as 2 cores mais numerosas
2Adicionar 1
3Resultado = N mínimo

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Critério	P = 0 a 3 (alternativas A/B)	P = 4 (original)	P = 5 (com 1 preta a mais)	P ≥ 6 (alternativas D/E)
Duas cores mais numerosas	Azul (5) e branca (4)	Azul (5) e branca/preta (4)	Azul (5) e preta (5)	Preta (P) e azul (5)
N mínimo para garantir 1 de cada cor	5 + 4 + 1 = 10	5 + 4 + 1 = 10	5 + 5 + 1 = 11	P + 5 + 1 ≥ 12
Compatível com N = 10 (original)?	Sim	Sim	Não	Não
Compatível com N = 11 (com +1 preta)?	Não (continuaria 10)	Não (P+1 = 5 → 11)	Sim	Não (seria ≥ 12)
Conclusão	❌	✅ (P = 4)	❌ (apenas cenário hipotético)	❌

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a quantidade é menor que 1,5. Isso implicaria P = 0 ou P = 1. Com P = 0, o mínimo seria 5 + 4 + 1 = 10, mas com P = 1, o mínimo seria 5 + 4 + 1 = 10 também (pois 1 < 4). O enunciado diz que com uma bola a mais o mínimo seria 11, o que não ocorreria com P = 0 ou 1 (P + 1 = 1 ou 2, ainda menor que 4). Portanto, a alternativa está incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a quantidade está entre 1,5 e 3,5. Isso implicaria P = 2 ou P = 3. Com P = 2, o mínimo é 5 + 4 + 1 = 10; com P = 3, o mínimo é 5 + 4 + 1 = 10. Em ambos os casos, P + 1 = 3 ou 4, que ainda é menor ou igual a 4, então o mínimo continuaria 10, não 11. A alternativa está incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a quantidade está entre 3,5 e 5,5. Isso implica P = 4 ou P = 5. Com P = 4, o mínimo é 5 + 4 + 1 = 10. Com P = 5 (uma a mais), o mínimo é 5 + 5 + 1 = 11. Isso bate exatamente com o enunciado. Portanto, a quantidade original de bolas pretas é 4, que está entre 3,5 e 5,5.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a quantidade está entre 5,5 e 7,5. Isso implicaria P = 6 ou P = 7. Com P = 6, o mínimo seria 6 + 5 + 1 = 12 (pois as duas maiores seriam 6 e 5), e com P = 7, o mínimo seria 7 + 5 + 1 = 13. Isso não corresponde ao N = 10 do enunciado. A alternativa está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a quantidade é maior que 7,5. Isso implicaria P ≥ 8. Nesse caso, o mínimo seria P + 5 + 1, que é maior que 14, muito distante de 10. A alternativa está incorreta.

Gabarito: letra C