Questão de Raciocínio Lógico — Tautologia, Contradição e Contingência — FGV 2024

Tautologia, Contradição e Contingência

Gabarito: letra C. A proposição $(p \land q) \rightarrow (p \lor q)$ é uma tautologia porque, em qualquer linha da tabela-verdade, o consequente $(p \lor q)$ é sempre verdadeiro quando o antecedente $(p \land q)$ é verdadeiro — e, quando o antecedente é falso, a condicional é verdadeira por definição. Assim, a última coluna da tabela-verdade só apresenta valores V, o que caracteriza a tautologia.

Tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Em outras palavras, ao construir a tabela-verdade, a coluna final (a coluna-solução) apresenta apenas V. O conceito é o oposto da contradição, que é sempre falsa (coluna final só com F), e da contingência, que é verdadeira em algumas linhas e falsa em outras.

Para verificar se uma proposição é tautológica, o método é construir a tabela-verdade e analisar a última coluna. No caso da alternativa C, a proposição é uma condicional: $(p \land q) \rightarrow (p \lor q)$. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Aqui, o antecedente $(p \land q)$ só é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros; nesse caso, o consequente $(p \lor q)$ também é verdadeiro. Nas demais linhas, o antecedente é falso, e a condicional é verdadeira. Portanto, a proposição é sempre verdadeira.

Um exemplo concreto: considere p = "chove" e q = "faz frio". A proposição C afirma: "se chove e faz frio, então chove ou faz frio". Isso é obviamente sempre verdadeiro: se ambas as condições ocorrem, certamente pelo menos uma delas ocorre. Se uma delas não ocorre, a premissa "chove e faz frio" é falsa, e a implicação é verdadeira. Esse raciocínio ilustra por que a alternativa C é uma tautologia.

A pegadinha da banca está na alternativa D, que inverte a ordem da condicional: $(p \lor q) \rightarrow (p \land q)$. Essa proposição não é tautológica, pois quando apenas uma das proposições é verdadeira (p verdadeiro e q falso, ou vice-versa), o antecedente é verdadeiro, mas o consequente é falso, tornando a condicional falsa. A banca explora a confusão entre a implicação e sua recíproca.

Guarde o critério decisivo: para uma condicional ser tautológica, o consequente deve ser verdadeiro sempre que o antecedente for verdadeiro. É exatamente nessa relação que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A proposição $q \land \sim p$ é uma conjunção. Ela é verdadeira apenas quando q é verdadeiro e p é falso; em todas as outras combinações, é falsa. Portanto, a última coluna da tabela-verdade apresenta V e F, caracterizando uma contingência, não uma tautologia.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A proposição $p \lor \sim q$ é uma disjunção inclusiva. Ela é falsa apenas quando p é falso e q é verdadeiro; nas demais combinações, é verdadeira. Como a coluna final tem V e F, é uma contingência, não uma tautologia.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A proposição $(p \land q) \rightarrow (p \lor q)$ é uma condicional. O antecedente $(p \land q)$ só é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros; nesse caso, o consequente $(p \lor q)$ também é verdadeiro. Nas demais linhas, o antecedente é falso, e a condicional é verdadeira por definição. Assim, a última coluna é sempre V, caracterizando uma tautologia.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A proposição $(p \lor q) \rightarrow (p \land q)$ é a recíproca da alternativa C. Ela é falsa quando o antecedente $(p \lor q)$ é verdadeiro e o consequente $(p \land q)$ é falso, ou seja, quando apenas uma das proposições é verdadeira. Portanto, é uma contingência, não uma tautologia.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A proposição $(\sim p \land q) \rightarrow (p \lor \sim q)$ é uma condicional. Para verificar se é tautológica, analisemos: o antecedente $(\sim p \land q)$ é verdadeiro quando p é falso e q é verdadeiro. Nesse caso, o consequente $(p \lor \sim q)$ é falso (pois p é falso e $\sim q$ é falso). Logo, a condicional é falsa nessa linha, caracterizando uma contingência, não uma tautologia.

Gabarito: letra C — a única proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores de p e q.