Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg167927
Banca
FGV
Órgão
TCE RR
Ano
2025
Cargo
AAD (TCE-RR)
Os números 1, 2, 3 e 4 devem ser colocados cada um em um dos quadradinhos da figura abaixo (permanecendo dois quadradinhos vazios) de forma que, da esquerda para a direita, mantenham a ordem crescente. O número de maneiras diferentes em que os quatro números podem ser colocados da forma descrita acima é
A10.
B12.
C15.
D20.
E30.
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GabaritoC — 15.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 15 maneiras — alternativa C.
A ideia por trás
A análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos escolher ou organizar elementos. Quando a ordem dos elementos não importa, usamos a combinação; quando importa, usamos arranjo ou permutação. Aqui, a ordem dos números é fixa (crescente), então o que varia é apenas quais posições serão ocupadas.
A combinação simples C(n,k) conta quantos subconjuntos de k elementos podemos formar a partir de um conjunto de n elementos, sem levar em conta a ordem. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!). Se a ordem importasse, usaríamos arranjo, que daria um número maior. Neste problema, como a ordem é imposta, cada escolha de posições gera exatamente uma configuração.
Precisamos escolher 4 dos 6 quadradinhos para preencher, e a ordem crescente já determina onde cada número vai. Portanto, o total é a combinação de 6 tomados 4 a 4.
O que a questão dá
6 quadradinhos na figura
4 números: 1, 2, 3 e 4
ordem crescente da esquerda para a direita
O que queremos: o número de maneiras de colocar os números nos quadradinhos
Passo 1 — Escolher os quadradinhos que serão preenchidos
Como a ordem dos números é fixa (crescente), a única coisa que varia é quais posições serão ocupadas. Então, primeiro contamos de quantas maneiras podemos escolher 4 posições entre as 6 disponíveis.
Por que esta fórmula: É uma combinação simples, porque a ordem das posições escolhidas não importa: escolher os quadradinhos {1,2,3,4} é o mesmo que {4,3,2,1} — o que importa é o conjunto. A fórmula C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!) conta exatamente isso.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 quadradinhos na figura · = enunciado: 4 números a colocar
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo A(6,4) = 360, contando ordens diferentes que não são permitidas.
Passo 2 — Calcular o fatorial de 6
A fórmula da combinação exige os fatoriais. Vamos calcular o numerador primeiro.
Por que esta fórmula: Fatorial de n é o produto de todos os inteiros de 1 até n. É a base da fórmula de combinação.
De onde vem cada valor: = passo 1: total de quadradinhos
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação, como esquecer o 1 ou trocar a ordem.
Passo 3 — Calcular o denominador
O denominador da combinação é o produto dos fatoriais de k e de (n-k). Precisamos dele para dividir o numerador.
Por que esta fórmula: A divisão por k! e (n-k)! elimina as contagens repetidas e as posições não escolhidas.
De onde vem cada valor: = passo 1: número de números a colocar · = passo 1: 6 - 4 = 2 quadradinhos vazios
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o fatorial de (n-k), usando só 4! = 24, o que daria 30.
Passo 4 — Dividir para obter o total
Com numerador e denominador calculados, a combinação é a divisão entre eles.
Por que esta fórmula: A fórmula C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!) já está pronta para aplicar.
De onde vem cada valor: = passo 2: 6! · = passo 3: 4! · 2!
NÃO CAIA NESSA!
Errar a divisão, como 720/48 = 15, mas confundir com 720/24 = 30.
