Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — FGV 2025

Ordenação de números reais

Gabarito: letra C — a sequência correta é b < a < c. Isso porque $b = \sqrt{35,2} \approx 5,93$, $a = \frac{43}{7} \approx 6,14$ e $c = 6,1795$; portanto, $b$ é o menor, seguido de $a$, e $c$ é o maior. A comparação exige transformar a fração e a raiz em decimais aproximados para então ordená-los.

Para resolver essa questão, precisamos comparar três números reais: uma fração, uma raiz quadrada e um decimal exato. O primeiro passo é obter uma aproximação decimal de cada um, com precisão suficiente para distinguir os valores. Vamos calcular cada um:

• $a = \frac{43}{7}$: dividindo 43 por 7, obtemos $6,142857...$ (dízima periódica). Para comparar com os outros, podemos usar $6,14$ (duas casas decimais) ou $6,142$ (três casas).

• $b = \sqrt{35,2}$: precisamos estimar a raiz quadrada. Sabemos que $5,9^2 = 34,81$ e $6^2 = 36$. Como 35,2 está entre 34,81 e 36, a raiz está entre 5,9 e 6. Mais precisamente, $5,93^2 = 35,1649$ e $5,94^2 = 35,2836$, então $\sqrt{35,2} \approx 5,93$ (na verdade, $5,9329...$).

• $c = 6,1795$: já está na forma decimal.

Agora, comparando as aproximações: $b \approx 5,93$, $a \approx 6,14$, $c = 6,1795$. Claramente, $5,93 < 6,14 < 6,1795$, logo $b < a < c$.

A pegadinha dessa questão está em não calcular corretamente a raiz quadrada ou a fração, levando o aluno a inverter a ordem entre $a$ e $b$. Muitos podem pensar que $\frac{43}{7} \approx 6,14$ é menor que $\sqrt{35,2} \approx 5,93$, mas é o contrário. Outra armadilha é confundir $c = 6,1795$ com um número menor que $a$, quando na verdade é maior.

Para evitar erros, sempre converta todos os números para a mesma representação (decimal) e compare com pelo menos duas casas decimais de precisão. Se necessário, use o método de Newton-Raphson para aproximar raízes, conforme visto no material de apoio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $a < b < c$, ou seja, $\frac{43}{7} < \sqrt{35,2} < 6,1795$. Isso é falso porque $a \approx 6,14$ e $b \approx 5,93$, logo $b < a$, não $a < b$. O erro está em inverter a ordem entre $a$ e $b$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $a < c < b$, ou seja, $\frac{43}{7} < 6,1795 < \sqrt{35,2}$. Isso é falso porque $b \approx 5,93$ é o menor de todos, não o maior. Além disso, $a \approx 6,14$ é menor que $c = 6,1795$, mas a posição de $b$ está errada.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $b < a < c$, ou seja, $\sqrt{35,2} < \frac{43}{7} < 6,1795$. Isso está correto: $b \approx 5,93$, $a \approx 6,14$ e $c = 6,1795$. A ordem crescente é exatamente essa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $b < c < a$, ou seja, $\sqrt{35,2} < 6,1795 < \frac{43}{7}$. Isso é falso porque $a \approx 6,14$ é menor que $c = 6,1795$, não maior. A ordem correta entre $a$ e $c$ é $a < c$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $c < b < a$, ou seja, $6,1795 < \sqrt{35,2} < \frac{43}{7}$. Isso é falso porque $b \approx 5,93$ é o menor, não o intermediário, e $c$ é o maior, não o menor. A ordem está completamente invertida.

Gabarito: letra C