GabaritoD — 10.
Gabarito: letra D — a conta chega a 10 cm² — alternativa D.
Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos, e sua área é o produto da base pela altura. Quando uma figura é composta por outras, a área total é a soma das áreas das partes, mas aqui precisamos das dimensões do retângulo, que não são dadas diretamente. A figura mostra quadrados rotacionados, então a base e a altura do retângulo não são simplesmente a soma dos lados dos quadrados.
A diagonal de um quadrado de lado l mede l√2 e forma 45° com os lados. Quando um quadrado é rotacionado, a projeção horizontal da diagonal é l√2·cos45° = l, e a projeção vertical também é l. Assim, cada quadrado contribui com 1 cm de projeção horizontal e 1 cm de projeção vertical, independentemente da rotação. A base do retângulo é a soma das projeções horizontais das diagonais dos quadrados, e a altura é a soma da projeção vertical de uma diagonal com o lado de um quadrado.
Esta questão cobra a relação entre a diagonal de um quadrado e suas projeções nos eixos do retângulo. Precisamos calcular a base e a altura do retângulo usando essas projeções, e então multiplicá-las para obter a área.
cinco quadrados iguais com 1 cm de lado
retângulo ABCD que contém os quadrados
O que queremos: a área do retângulo ABCD
A base do retângulo é formada pelas projeções horizontais das diagonais dos quadrados. Cada quadrado tem uma diagonal que forma 45° com a base, então precisamos saber quanto dessa diagonal se projeta na horizontal.
Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado de lado l é l√2. A projeção horizontal é a diagonal vezes o cosseno do ângulo com a horizontal, que é 45°. Como cos45° = √2/2, a projeção é l√2·√2/2 = l.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1 cm · = definição: diagonal do quadrado de lado l · = definição: ângulo da diagonal com a base
Esquecer o fator √2 e achar que a projeção é 1,414 cm
A base do retângulo é a soma das projeções horizontais das diagonais dos cinco quadrados. Como cada projeção vale 1 cm, basta multiplicar por 5.
Por que esta fórmula: A base é a soma de cinco projeções iguais, então é 5 vezes a projeção de um quadrado.
De onde vem cada valor: = enunciado: cinco quadrados · = passo 1: 1 cm
Contar apenas 4 quadrados ou usar o lado em vez da projeção
A altura do retângulo é a soma da projeção vertical de uma diagonal com o lado de um quadrado. A projeção vertical também vale 1 cm, e o lado do quadrado vale 1 cm, então a altura é 2 cm.
Por que esta fórmula: A altura é composta por duas partes: a projeção vertical da diagonal de um quadrado (que é igual à projeção horizontal, pois o ângulo é 45°) e o lado de um quadrado que está na vertical.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1 cm (mesma projeção, agora vertical) · = enunciado: 1 cm
Achar que a altura é apenas 1 cm, esquecendo o lado do quadrado
Com a base e a altura conhecidas, a área é o produto delas.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura.
De onde vem cada valor: = passo 2: 5 cm · = passo 3: 2 cm
Multiplicar 5 por 1,5 ou usar 4 por 2, por engano
Resposta: 10 cm² — alternativa D
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