Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg167933

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 20 cm² — alternativa C.

A ideia por trás

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e a altura relativa a ela é o segmento perpendicular que parte do vértice do ângulo reto até a hipotenusa. A mediana relativa à hipotenusa é o segmento que liga o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa. Uma propriedade fundamental é que essa mediana mede exatamente a metade da hipotenusa, pois o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo.

A área de qualquer triângulo é dada por (base × altura)/2. Se tomarmos a hipotenusa como base, a altura correspondente é exatamente a altura relativa a ela. Portanto, conhecendo a hipotenusa e essa altura, calculamos a área diretamente. A propriedade da mediana relativa à hipotenusa (mediana = hipotenusa/2) é o que nos permite achar a hipotenusa a partir da mediana.

Esta questão cobra exatamente essa propriedade da mediana e o cálculo da área usando a hipotenusa como base. Precisamos primeiro descobrir a hipotenusa a partir da mediana e depois aplicar a fórmula da área.

O que a questão dá

altura relativa à hipotenusa = 4 cm
mediana relativa à hipotenusa = 5 cm

O que queremos: a área do triângulo retângulo

Passo 1 — Descobrir a hipotenusa a partir da mediana

A mediana relativa à hipotenusa tem uma propriedade especial: ela mede metade da hipotenusa. Isso acontece porque, em um triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência que passa pelos três vértices, e a mediana é um raio dessa circunferência. Como o diâmetro é a hipotenusa, o raio (mediana) é metade dela.

Por que esta fórmula: A propriedade é direta: mediana = hipotenusa / 2. Portanto, para achar a hipotenusa, multiplicamos a mediana por 2.

hipotenusa = 2 \times mediana

De onde vem cada valor: $mediana$ = enunciado: 5 cm

hipotenusa = 2 \times 5 = \boxed{10\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 e usar a mediana como se fosse a hipotenusa, o que daria área errada.

Passo 2 — Calcular a área usando a hipotenusa como base

Agora que temos a hipotenusa, podemos calcular a área do triângulo. A área de qualquer triângulo é metade do produto da base pela altura. Aqui, a base é a hipotenusa e a altura é a altura relativa a ela, que o enunciado já fornece.

Por que esta fórmula: A fórmula da área de um triângulo é universal: A = (base × altura) / 2. Não precisamos dos catetos, pois a hipotenusa e a altura relativa a ela são suficientes.

A = \frac{hipotenusa \times altura}{2}

De onde vem cada valor: $hipotenusa$ = passo 1: 10 cm · $altura$ = enunciado: 4 cm

A = \frac{10 \times 4}{2} = \boxed{20\ \text{cm}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 40 cm², ou usar a mediana como altura, obtendo 25 cm².

Resposta: 20 cm² — alternativa C