Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg167938
Banca
FGV
Órgão
PM SP
Ano
2025
Cargo
Sold ( )
Para receber o novo comandante, o 1º Tenente Ramiro deverá organizar, no pátio do quartel da PM, uma formação retangular com 72 soldados dispostos regularmente em linhas (horizontais) e colunas (verticais). Sabe-se que essa formação retangular deve ter, no mínimo, três linhas e, no mínimo, oito colunas. O número de arrumações diferentes que Ramiro poderá fazer é igual a
A2.
B3.
C4.
D5.
E6.
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GabaritoD — 5.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 5 arrumações — alternativa D.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha acontece em etapas, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, a formação é definida por duas etapas: escolher o número de linhas e o número de colunas. Como o total de soldados é fixo, essas duas escolhas não são independentes: o produto delas deve ser 72.
A relação é linhas × colunas = 72. Para cada divisor de 72 que pode ser o número de linhas, o número de colunas fica determinado (72 dividido por ele). O número de arrumações é a quantidade de pares ordenados (linhas, colunas) que satisfazem essa equação e as restrições de mínimo. Como a ordem importa, (8,9) e (9,8) são arrumações diferentes.
Esta questão cobra a aplicação do princípio fundamental da contagem na forma de divisores: listar os pares ordenados cujo produto é 72 e filtrar pelos mínimos exigidos. O passo crucial é não esquecer que a ordem das dimensões importa.
O que a questão dá
total de soldados = 72
mínimo de linhas = 3
mínimo de colunas = 8
O que queremos: o número de arrumações retangulares possíveis
Passo 1 — Listar os divisores de 72
Para montar uma formação retangular, o número de linhas e o de colunas devem ser divisores de 72, pois o produto deles é 72. Listar todos os divisores garante que nenhum par seja esquecido.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a definição de divisor: números inteiros positivos que dividem 72 sem resto. Encontramos todos os pares (d, 72/d).
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer divisores como 8, 9 ou 12, o que reduziria o número de pares e levaria a uma alternativa errada.
Passo 2 — Formar os pares (linhas, colunas)
Cada divisor pode ser o número de linhas; o número de colunas é o quociente 72 ÷ linhas. Isso gera todos os pares ordenados possíveis.
Por que esta fórmula: A relação linhas × colunas = 72 define que, para cada linha, a coluna é o complemento. Como a ordem importa, cada par (l, c) é uma arrumação distinta.
De onde vem cada valor: = passo 1: cada divisor · = definição: 72 ÷ l