Questão de Matemática — Sistemas Lineares — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12,5 horas — alternativa D.

A ideia por trás

Um sistema linear é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada tipo de dado (gráficos, textos, números) vira uma equação: a quantidade produzida por S1 mais a produzida por S2 deve ser exatamente a demanda. As incógnitas são as horas de funcionamento de cada servidor.

Cada equação tem a forma (taxa de S1) × (horas de S1) + (taxa de S2) × (horas de S2) = demanda. Se uma taxa aumenta, para manter a mesma demanda as horas precisam diminuir — é uma troca direta. Como há três equações e só duas incógnitas, a solução só existe se as três forem compatíveis; se não fossem, não haveria como atender tudo exatamente.

Esta questão pede para montar o sistema a partir da tabela e resolvê-lo. O passo crucial é perceber que, com três equações e duas incógnitas, precisamos verificar se a solução das duas primeiras também satisfaz a terceira — é isso que garante que o total de horas é único.

O que a questão dá

• taxa de processamento de S1: 6 G/h, 4 T/h, 2 N/h

• taxa de processamento de S2: 5 G/h, 3 T/h, 4 N/h

• demanda: 68 G, 43 T, 39 N

O que queremos: o total mínimo de horas de operação dos dois servidores

Passo 1 — Definir as incógnitas

Antes de montar qualquer equação, precisamos nomear o que queremos descobrir: as horas que cada servidor vai operar. Sem isso, não há como escrever as relações.

Passo 2 — Montar as equações de demanda

Cada tipo de dado é uma restrição: o total processado pelos dois servidores juntos tem que ser exatamente a demanda. Isso gera uma equação por tipo.

Por que esta fórmula: A quantidade de gráficos produzida é a taxa de S1 vezes suas horas mais a taxa de S2 vezes suas horas. O mesmo raciocínio vale para textos e números.

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: S1 processa 6 G/h · $5$ = enunciado: S2 processa 5 G/h · $68$ = enunciado: demanda de gráficos · $4$ = enunciado: S2 processa 4 N/h · $3$ = enunciado: S2 processa 3 T/h · $43$ = enunciado: demanda de textos · $2$ = enunciado: S1 processa 2 N/h · $39$ = enunciado: demanda de números

Passo 3 — Resolver o sistema com as duas primeiras equações

Com três equações e duas incógnitas, o caminho é resolver um par delas e depois conferir na terceira. As duas primeiras são as mais simples de combinar.

Por que esta fórmula: Vamos eliminar x: multiplicamos a segunda equação por 1,5 para que o coeficiente de x fique igual ao da primeira (6x). Depois subtraímos uma da outra, sobrando só y.

De onde vem cada valor: $6x + 5y = 68$ = passo 2: primeira equação · $6x + 4{,}5y = 64{,}5$ = passo 2: segunda equação multiplicada por 1,5

0,5y = 3,5 → y = 7

Passo 4 — Encontrar o valor de x

Com y conhecido, substituímos em uma das equações originais para achar x. Isso fecha a solução do par.

Por que esta fórmula: Usamos a segunda equação original, 4x + 3y = 43, porque tem números menores.

De onde vem cada valor: $4$ = passo 2: coeficiente de x na equação de textos · $3$ = passo 2: coeficiente de y na equação de textos · $7$ = passo 3: valor de y · $43$ = passo 2: demanda de textos

Passo 5 — Conferir na terceira equação

Como o sistema tem mais equações que incógnitas, a solução só é válida se também satisfizer a equação de números. Essa verificação é o que garante que a resposta está certa.

Por que esta fórmula: Substituímos x e y na equação 2x + 4y = 39 e vemos se a igualdade se mantém.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 2: coeficiente de x na equação de números · $5{,}5$ = passo 4: valor de x · $4$ = passo 2: coeficiente de y na equação de números · $7$ = passo 3: valor de y · $39$ = passo 2: demanda de números

Passo 6 — Somar as horas dos dois servidores

O problema pede o total de horas de operação, que é simplesmente a soma das horas de cada servidor. Com x e y conhecidos, essa é a última conta.

Por que esta fórmula: O total de horas é a soma das horas individuais, pois os servidores operam em paralelo.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 4: 5,5 horas · $y$ = passo 3: 7 horas

Resposta: 12,5 horas — alternativa D