Questão de Matemática — Números Complexos — FGV 2025

Logaritmo complexo e a fórmula de Euler

Gabarito: letra B — $\ln(i) = \dfrac{\pi}{2}i$. Pela fórmula de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$; como $i = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = e^{i\pi/2}$, o logaritmo natural de $i$ é o expoente $\dfrac{\pi}{2}i$. A questão testa diretamente a aplicação da relação de Euler para calcular o logaritmo de um número complexo.

O logaritmo natural de um número real positivo $x$ responde à pergunta: "a que potência devo elevar $e$ para obter $x$?" — ou seja, $\ln(x) = a \iff e^a = x$. Para números complexos, a ideia é a mesma, mas o resultado deixa de ser um número real e passa a ser um número complexo. A fórmula de Euler, $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$, é a ponte que liga a exponencial complexa à trigonometria: ela nos diz que elevar $e$ a um expoente imaginário puro $ix$ produz um ponto no círculo trigonométrico, com cosseno como parte real e seno como parte imaginária.

Para calcular $\ln(i)$, precisamos encontrar o expoente $a$ tal que $e^a = i$. O número $i$ é o ponto do plano complexo com parte real 0 e parte imaginária 1 — ou seja, o ponto que está a 90° (ou $\dfrac{\pi}{2}$ radianos) do eixo real positivo, sobre o círculo de raio 1. Pela fórmula de Euler, $e^{i\pi/2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 + i\cdot 1 = i$. Portanto, o expoente que procuramos é exatamente $\dfrac{\pi}{2}i$.

É importante notar que o logaritmo complexo não é único: como as funções trigonométricas são periódicas, $e^{i(\theta + 2k\pi)} = e^{i\theta}$ para qualquer inteiro $k$. Assim, $\ln(i)$ também poderia ser $\dfrac{\pi}{2}i + 2k\pi i$. O valor principal (com $k=0$) é $\dfrac{\pi}{2}i$, que é o que a banca cobra. A pegadinha clássica é esquecer o fator $i$ e marcar apenas $\dfrac{\pi}{2}$ (alternativa A), confundindo o argumento (ângulo) com o logaritmo em si.

Guarde a distinção: o logaritmo de um número complexo é um número complexo — ele carrega tanto a informação do módulo (parte real) quanto a do argumento (parte imaginária). No caso de $i$, o módulo é 1 (cujo logaritmo é 0) e o argumento é $\dfrac{\pi}{2}$, então o logaritmo é $0 + \dfrac{\pi}{2}i$. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\dfrac{\pi}{2}$ como resposta, sem o fator $i$. Esse é o valor do argumento de $i$ (o ângulo), não o logaritmo. O candidato que confunde o ângulo com o logaritmo cai aqui: $\ln(i)$ é um número complexo, e sua parte imaginária é $\dfrac{\pi}{2}$, mas o resultado completo é $\dfrac{\pi}{2}i$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\ln(i) = \dfrac{\pi}{2}i$. Como $i = e^{i\pi/2}$ pela fórmula de Euler, o logaritmo natural de $i$ é o expoente $\dfrac{\pi}{2}i$. A alternativa espelha exatamente o resultado: um número imaginário puro, com parte real nula e parte imaginária $\dfrac{\pi}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\pi$, que é o argumento de $-1$ (pois $e^{i\pi} = -1$), não de $i$. O candidato que confunde $i$ com $-1$ ou que erra o ângulo do ponto (0,1) no círculo trigonométrico marca esta opção. O argumento de $i$ é $\dfrac{\pi}{2}$, não $\pi$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\pi i$, que seria o logaritmo de $-1$ (pois $e^{i\pi} = -1$), não de $i$. Aqui há uma dupla confusão: troca-se o número $i$ por $-1$ e, além disso, o resultado de $\ln(-1)$ seria $\pi i$, não $\dfrac{\pi}{2}i$. O candidato que marca esta opção provavelmente lembrou que $e^{i\pi} = -1$, mas aplicou ao número errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\dfrac{3\pi}{2}i$, que seria o logaritmo de $-i$ (pois $e^{i\cdot 3\pi/2} = -i$), não de $i$. O ângulo de $\dfrac{3\pi}{2}$ (270°) aponta para baixo no círculo trigonométrico, correspondendo ao ponto (0, -1). O candidato que marca esta opção confunde o sentido do ângulo ou erra o quadrante.

Gabarito: letra B