Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A razão AK/EK é 1, alternativa E..

A ideia por trás

Quando duas figuras planas compartilham um lado, como o quadrado e o octógono aqui, a posição relativa dos vértices é definida pelos ângulos internos de cada uma. O quadrado tem ângulo interno de 90°, e o octógono regular tem ângulo interno de 135°. No vértice comum A, o ângulo entre o lado AB (do quadrado) e o lado AE (do octógono) é a diferença entre esses dois: 135° - 90° = 45°. Esse ângulo de 45° é a chave para entender a simetria da figura.

A razão entre dois segmentos é a divisão de suas medidas. Quando dois segmentos são iguais, a razão é 1. Para descobrir se são iguais, podemos usar a simetria: se uma reta é eixo de simetria da figura, ela corta segmentos correspondentes ao meio. No caso, o segmento DF, que liga o vértice D do quadrado ao vértice F do octógono, é um eixo de simetria da figura composta, pois a configuração é simétrica em relação a essa reta. Isso faz com que o ponto K, onde DF cruza AE, seja o ponto médio de AE.

Esta questão cobra a percepção da simetria: em vez de calcular por trigonometria, basta notar que DF é eixo de simetria e, portanto, K é ponto médio de AE. A razão pedida é então 1.

O que a questão dá

• quadrado ABCD com lado AB

• octógono regular convexo AEFGHIJB compartilhando o lado AB

• segmento DF intersecta o lado AE no ponto K

O que queremos: a razão entre as medidas dos segmentos AK e EK

Passo 1 — Desenhar a figura com quadrado e octógono

Antes de qualquer conta, precisamos visualizar a situação. O quadrado ABCD e o octógono AEFGHIJB compartilham o lado AB. O octógono está 'apoiado' sobre esse lado, com os vértices E, F, G, H, I, J formando uma 'tampa' acima de AB. Desenhar ajuda a enxergar a simetria.

Passo 2 — Calcular o ângulo entre AB e AE

Precisamos saber a inclinação do lado AE do octógono em relação ao lado AB do quadrado, pois isso define a direção do segmento DF. O ângulo interno do octógono é 135°, e o do quadrado é 90°. No vértice A, o ângulo entre AB e AE é a diferença entre esses dois.

Por que esta fórmula: O ângulo interno de um polígono regular de n lados é (n-2)180°/n. Para o octógono, n=8, então (8-2)180/8 = 135°. O quadrado tem 90°. A diferença dá o ângulo entre os lados que partem de A.

De onde vem cada valor: $135°$ = definição: ângulo interno do octógono regular (n-2)*180°/n com n=8 · $90°$ = definição: ângulo interno do quadrado

Passo 3 — Perceber que DF é eixo de simetria

Com o ângulo de 45° em mente, observamos que a diagonal DB do quadrado faz 45° com AB, mas para dentro. O segmento DF, que vai de D a F, é o prolongamento dessa diagonal para fora do quadrado, então também faz 45° com AB, mas do lado de fora. Isso cria uma simetria: a reta DF divide a figura em duas metades espelhadas.

Passo 4 — Usar a simetria para igualar AK e EK

Como DF é eixo de simetria, ele reflete o lado AE sobre si mesmo, levando o ponto A ao ponto E. Portanto, o ponto de interseção K, que está sobre o eixo, fica exatamente no meio do segmento AE, garantindo que AK e EK tenham a mesma medida.

Passo 5 — Calcular a razão AK/EK

Com K sendo ponto médio, os segmentos AK e EK têm a mesma medida. A razão entre eles é 1.

Por que esta fórmula: A razão entre dois segmentos iguais é sempre 1.

De onde vem cada valor: $AK$ = passo 4: K é ponto médio de AE · $EK$ = passo 4: K é ponto médio de AE

Resposta: A razão AK/EK é 1, alternativa E.