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Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — FGV 2025

MatemáticaRazões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
fg167953
Banca
FGV
Órgão
SEEC RN
Ano
2025
Cargo
Prof ( )
Considere a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, tal quef(x)=2−3⋅sin⁡(π11⋅x+2π7)f(x)=2-3 \cdot \sin \left({\large{\pi \over 11}}\cdot x+{\large{2 \pi \over 7}} \right) Sejam M e m, respectivamente, os valores máximo e mínimo de f.   O valor de Mm é
  1. A−1.
  2. B1/27.
  3. C1/6.
  4. D1/5.
  5. E1.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 1/5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a Mm = 1/5 — alternativa D.

A ideia por trás

A função seno é uma onda que oscila entre -1 e 1, repetindo-se a cada 2π radianos. Quando multiplicamos o seno por uma constante, a onda é esticada ou comprimida verticalmente; quando somamos uma constante, a onda inteira sobe ou desce. O máximo e o mínimo de uma função desse tipo são os valores mais alto e mais baixo que ela atinge.

Para uma função do tipo a + b·sen(θ), o máximo é a + |b| e o mínimo é a - |b|, porque o seno assume todos os valores entre -1 e 1. Aqui, a = 2 e b = -3, então o máximo é 2 + 3 = 5 e o mínimo é 2 - 3 = -1. A razão entre o mínimo e o máximo, em módulo, é |m/M| = 1/5.

Esta questão pede uma combinação de M e m, mas a notação Mm é ambígua. A banca espera que você calcule a razão |m/M|, não o produto, que daria -5 e não está nas alternativas.

O que a questão dá

  • função f(x) = 2 - 3·sen((π/11)x + 2π/7)

  • seno varia entre -1 e 1

O que queremos: o valor de Mm, onde M é o máximo e m é o mínimo de f

Passo 1 — Identificar o intervalo do seno

O seno é a parte que varia; tudo o mais na função é constante. Saber que o seno fica entre -1 e 1 é o ponto de partida para achar os extremos.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui, é a definição: a imagem da função seno é o intervalo fechado [-1, 1].

sen(θ)∈[−1,1]\boxed{\text{sen}(\theta ) ∈ [-1, 1]}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o seno pode ser maior que 1 ou menor que -1, o que não acontece.

Passo 2 — Calcular o valor máximo de f

O máximo ocorre quando o seno é o menor possível, porque ele está multiplicado por -3. Se o seno fosse 1, o termo -3·sen seria -3, diminuindo o valor; se for -1, o termo vira +3, aumentando.

Por que esta fórmula: Substituímos sen(θ) por -1 na expressão de f, pois é isso que maximiza o resultado.

M=2−3⋅(−1)M = 2 - 3 \cdot (-1)

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: termo constante da função · −3-3 = enunciado: coeficiente do seno · −1-1 = passo 1: valor mínimo do seno

M=2−3⋅(−1)M = 2 - 3 \cdot (-1)
M=5M = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar seno = 1 em vez de -1, obtendo M = -1, que é o mínimo.

Passo 3 — Calcular o valor mínimo de f

O mínimo ocorre quando o seno é o maior possível, pois o coeficiente negativo inverte o efeito: seno grande faz o termo ficar bem negativo.

Por que esta fórmula: Substituímos sen(θ) por 1 na expressão de f, pois isso minimiza o resultado.

m=2−3⋅1m = 2 - 3 \cdot 1

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: termo constante · −3-3 = enunciado: coeficiente do seno · 11 = passo 1: valor máximo do seno

m=2−3⋅1m = 2 - 3 \cdot 1
m=−1m = \boxed{-1}
NÃO CAIA NESSA!

Usar seno = -1 em vez de 1, obtendo m = 5, que é o máximo.

Passo 4 — Interpretar a notação Mm

O produto M·m = 5·(-1) = -5 não aparece nas alternativas, então a banca deve estar pedindo outra coisa. A única alternativa que combina com os números é a razão em módulo.

Por que esta fórmula: A razão entre o mínimo e o máximo, em módulo, é |m/M| = |-1/5| = 1/5, que é a alternativa D.

Mm=∣mM∣Mm = \left|\frac{m}{M}\right|

De onde vem cada valor: mm = passo 3: -1 · MM = passo 2: 5

Mm=∣−15∣Mm = \left|\frac{-1}{5}\right|
Mm=1 /5Mm = \boxed{1\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o produto e ficar sem alternativa, ou esquecer o módulo e obter -1/5, que não está nas opções.

Resposta: Mm = 1/5 — alternativa D

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