GabaritoC — 1/8.
Gabarito: letra C — a conta chega a k = 1/8 — alternativa C.
Uma equação do 2º grau é toda igualdade que pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Ela descreve uma parábola no plano cartesiano, e as soluções são os pontos onde essa parábola cruza o eixo x. O discriminante Δ = b² - 4ac é o termo que decide quantas vezes ela cruza: se Δ > 0, cruza em dois pontos (duas raízes); se Δ = 0, toca em um único ponto (raiz dupla); se Δ < 0, não cruza (nenhuma raiz real).
A fórmula de Bhaskara x = (-b ± √Δ)/(2a) mostra que o sinal de Δ controla tudo: com Δ = 0, o ± some e sobra uma única resposta. Isso significa que, para ter solução única, não precisamos resolver a equação — basta impor que o discriminante seja zero. O valor de k entra no coeficiente c, então mudar k desloca a parábola verticalmente e altera o discriminante.
Esta questão cobra exatamente essa condição: reorganizar a equação para a forma padrão, identificar os coeficientes com k embutido em c, e forçar Δ = 0 para achar o k que dá a raiz dupla.
equação: 2x² - √7·x + 1 = k
condição: solução real única
O que queremos: o valor de k que faz a equação ter uma única raiz real
A fórmula de Bhaskara só se aplica quando a equação está com tudo de um lado e zero do outro. Aqui o k está solto no segundo membro, então precisamos trazê-lo para o lado esquerdo, subtraindo k dos dois lados.
Por que esta fórmula: A forma padrão é ax² + bx + c = 0. Subtrair k de ambos os lados mantém a igualdade e transforma o termo constante de 1 para 1 - k.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente de x² · = enunciado: coeficiente de x · = enunciado: termo constante 1 menos k
Usar c = 1 em vez de c = 1 - k — é a pegadinha central da questão.
Com a equação na forma padrão, podemos ler diretamente quem é cada coeficiente. O a é o número que multiplica x², o b o que multiplica x, e o c é o termo sem x — agora com o k embutido.
Por que esta fórmula: Comparando com ax² + bx + c = 0, temos a = 2, b = -√7 e c = 1 - k. Essa identificação é o que permite montar o discriminante.
De onde vem cada valor: = passo 1: coeficiente de x² · = passo 1: coeficiente de x · = passo 1: termo constante
Esquecer o sinal negativo de b — ele entra ao quadrado, então o sinal não muda o resultado, mas é bom manter a atenção.
O discriminante é a ferramenta que decide quantas raízes a equação tem. Como queremos solução única, precisamos calculá-lo em função de k para depois impor a condição.
Por que esta fórmula: Δ = b² - 4ac é a definição do discriminante, extraída da fórmula de Bhaskara. Ele mede se a parábola cruza, toca ou não o eixo x.
De onde vem cada valor: = passo 2: -√7 · = passo 2: 2 · = passo 2: 1 - k
Errar o sinal ao substituir b = -√7: (-√7)² = 7, não -7.
A expressão ainda tem parênteses e multiplicações; simplificá-la deixa o Δ em função direta de k, pronta para a condição de raiz única.
Por que esta fórmula: Aplicamos as propriedades da potenciação e da distributiva: (-√7)² = 7 e 4·2·(1-k) = 8(1-k) = 8 - 8k.
De onde vem cada valor: = passo 3: (-√7)² · = passo 3: 4·2·(1-k)
Esquecer de distribuir o 8 no parêntese, ficando com 7 - 8(1) - 8k = -1 - 8k.
A condição para solução única é exatamente Δ = 0. Agora que temos Δ = 8k - 1, igualamos a zero e resolvemos a equação do 1º grau em k.
Por que esta fórmula: Se Δ = 0, a fórmula de Bhaskara dá x = -b/(2a), uma única raiz. Então a equação 8k - 1 = 0 é a tradução matemática do que o problema pede.
De onde vem cada valor: = passo 4: expressão do discriminante
Parar em Δ = 8k - 1 e não igualar a zero — sem isso não há valor de k.
A equação 8k - 1 = 0 é simples de resolver: somamos 1 dos dois lados e depois dividimos por 8. Isso dá o valor exato de k que satisfaz a condição.
Por que esta fórmula: Isolamento algébrico: somar 1 elimina o -1, e dividir por 8 elimina o coeficiente de k.
De onde vem cada valor: = passo 5: termo independente · = passo 5: coeficiente de k
Inverter a divisão e achar k = 8 — confundir quem divide por quem.
Resposta: k = 1/8 — alternativa C
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