Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — FGV 2025

Função exponencial e variação percentual

Gabarito: letra C. De $x=0$ a $x=6$, o valor de $f$ aumenta mais de 50% — na verdade, aumenta exatamente 56,25%. Isso porque $f(0)=29$ e $f(6)=29\cdot(0,8)^{-2}=29\cdot\left(\frac{5}{4}\right)^2=29\cdot\frac{25}{16}=45,3125$, e a razão $\frac{45,3125}{29}=1,5625$ corresponde a um aumento de 56,25%.

A função exponencial é da forma $f(x)=a^x$, com $0<a\neq 1$. Quando a base $a$ está entre 0 e 1, a função é decrescente; quando $a>1$, é crescente. No caso, temos $f(x)=29\cdot(0,8)^{-x/3}$. O expoente negativo inverte a base: $(0,8)^{-x/3}=\left(\frac{1}{0,8}\right)^{x/3}=\left(\frac{5}{4}\right)^{x/3}$. Como $\frac{5}{4}>1$, a função é crescente — conforme $x$ aumenta, $f(x)$ aumenta. Isso já elimina as alternativas D e E, que afirmam que a função diminui.

Para calcular a variação percentual, precisamos comparar o valor final com o inicial. A variação percentual é dada por $\frac{f(6)-f(0)}{f(0)}\times 100\%$. Vamos calcular passo a passo:

1. $f(0)=29\cdot(0,8)^{0}=29\cdot 1=29$.

2. $f(6)=29\cdot(0,8)^{-6/3}=29\cdot(0,8)^{-2}=29\cdot\left(\frac{1}{0,8}\right)^2=29\cdot\left(\frac{5}{4}\right)^2=29\cdot\frac{25}{16}=45,3125$.

3. Aumento absoluto: $45,3125-29=16,3125$.

4. Variação percentual: $\frac{16,3125}{29}\times 100\% = 56,25\%$.

Como 56,25% é maior que 50%, a alternativa correta é a letra C.

A pegadinha desta questão está em dois pontos. Primeiro, o expoente negativo: muitos candidatos veem a base 0,8 (menor que 1) e concluem que a função é decrescente, mas o sinal negativo no expoente inverte a base, tornando-a crescente. Segundo, a comparação com 50%: o aumento é de 56,25%, que é "mais de 50%", mas não é exatamente 50% nem um valor redondo — é preciso fazer a conta completa para não errar.

Guarde a regra: para saber se uma função exponencial cresce ou decresce, olhe para a base após simplificar o expoente. Se o expoente for negativo, inverta a base. E para calcular variação percentual, use sempre $\frac{\text{final}-\text{inicial}}{\text{inicial}}\times 100\%$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta 50%. O aumento real é de 56,25%, não 50%. O candidato que erra aqui provavelmente calculou $f(6)$ de forma aproximada ou confundiu a razão $\frac{f(6)}{f(0)}=1,5625$ com 1,5 (que seria 50%).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor aumenta menos de 50%. Como o aumento é de 56,25%, que é maior que 50%, esta alternativa está errada. O erro aqui é subestimar o crescimento da função.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor de $f$ aumenta de 29 para 45,3125, o que representa um aumento de 56,25%. Como 56,25% > 50%, a afirmação "aumenta mais de 50%" está correta. A conta: $\frac{45,3125-29}{29}\times 100\% = 56,25\%$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o valor diminui menos de 50%. A função é crescente (pois a base efetiva é $\frac{5}{4}>1$), então o valor não diminui — ele aumenta. Quem marca esta alternativa provavelmente ignorou o expoente negativo e tratou a base 0,8 como se a função fosse decrescente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o valor diminui mais de 50%. Pelo mesmo motivo da alternativa D, a função é crescente, não decrescente. O erro é o mesmo: não inverter a base por causa do expoente negativo.

Gabarito: letra C