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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FGV 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fg167958
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ PR
Ano
2025
Cargo
AF ( )
Durante uma viagem, sete amigos (A, B, C, D, E, F e G) reservaram três quartos diferentes de um mesmo hotel. Um desses quartos foi reservado para três pessoas e os demais, para duas pessoas cada.   Duas possíveis distribuições distintas dos amigos pelos quartos são: A quantidade total de possíveis distribuições distintas dessas sete pessoas nesses quartos éImagem associada para resolução da questão
  1. A35.
  2. B105.
  3. C120.
  4. D210.
  5. E225.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 210.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 210 distribuições distintas — alternativa D.

A ideia por trás

A análise combinatória conta de quantas maneiras podemos agrupar elementos. Quando a ordem dentro do grupo não importa, usamos combinação: escolher A, B e C para um quarto é o mesmo que escolher C, B e A. Quando os grupos têm identidades diferentes, como quartos numerados, a ordem em que escolhemos cada grupo importa.

A combinação de n elementos tomados k a k é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Ela conta quantos subconjuntos de tamanho k existem, sem se importar com a ordem interna. Quando precisamos formar vários grupos de tamanhos fixos e os grupos são distintos, multiplicamos as combinações de cada etapa: escolher o primeiro grupo, depois o segundo, e assim por diante.

Esta questão pede para distribuir 7 pessoas em 3 quartos de tamanhos 3, 2 e 2, com os quartos sendo diferentes. O ponto central é perceber que a ordem das escolhas importa porque os quartos são distintos, então multiplicamos as combinações sem dividir por nada.

O que a questão dá

  • 7 amigos: A, B, C, D, E, F e G

  • 3 quartos diferentes

  • 1 quarto para 3 pessoas

  • 2 quartos para 2 pessoas cada

O que queremos: o número total de distribuições distintas dos 7 amigos nos 3 quartos

Passo 1 — Escolher as 3 pessoas do quarto triplo

Começamos pelo quarto que recebe mais gente, porque é o que mais restringe as escolhas. Precisamos selecionar 3 entre 7 amigos, e a ordem dentro do trio não importa: o quarto com A, B e C é o mesmo que com C, B e A.

Por que esta fórmula: Usamos combinação, C(7,3), porque estamos escolhendo um subconjunto sem ordem interna. A fórmula C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) conta exatamente isso.

C(7,3)=7!3!(7−3)!C(7{,}3) = \frac{7!}{3!(7-3)!}

De onde vem cada valor: 77 = enunciado: 7 amigos · 33 = enunciado: quarto para 3 pessoas

C(7,3)=7×6×53×2×1=35C(7{,}3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{35}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(7,3) = 7×6×5 = 210, contando ordens diferentes dentro do trio como distribuições diferentes — mas A, B e C no mesmo quarto é uma única distribuição.

Passo 2 — Escolher as 2 pessoas do primeiro quarto duplo

Depois de escolher o trio, restam 4 amigos. Agora precisamos escolher 2 deles para o primeiro quarto duplo. A ordem dentro dessa dupla também não importa, então é outra combinação.

Por que esta fórmula: Temos 4 pessoas disponíveis e precisamos escolher 2, sem ordem interna: C(4,2).

C(4,2)=4!2!(4−2)!C(4{,}2) = \frac{4!}{2!(4-2)!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: sobraram 4 pessoas · 22 = enunciado: quarto para 2 pessoas

C(4,2)=4×32×1=6C(4{,}2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que já escolhemos o trio e usar 7 pessoas de novo — isso contaria distribuições impossíveis.

Passo 3 — Formar a última dupla automaticamente

Após escolher o trio e a primeira dupla, restam exatamente 2 pessoas, que vão para o último quarto duplo. Não há escolha a fazer: só existe uma maneira de colocar essas duas pessoas juntas.

Por que esta fórmula: É a combinação de 2 elementos tomados 2 a 2, que vale 1: C(2,2) = 1.

C(2,2)=2!2!(2−2)!C(2{,}2) = \frac{2!}{2!(2-2)!}

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: sobraram 2 pessoas

C(2,2)=2×12×1=1C(2{,}2) = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que há mais de uma opção aqui — mas com 2 pessoas e 1 vaga dupla, só existe uma combinação.

Passo 4 — Multiplicar as escolhas de cada quarto

Cada escolha de ocupantes para um quarto é independente das outras, e os quartos são diferentes entre si. Pelo princípio multiplicativo, o total de distribuições é o produto das combinações de cada etapa.

Por que esta fórmula: Como os quartos são distintos, a ordem das escolhas importa: escolher o trio primeiro e depois as duplas é diferente de escolher uma dupla primeiro. Por isso multiplicamos, sem dividir por nada.

Total=C(7,3)×C(4,2)×C(2,2)Total = C(7{,}3) \times C(4{,}2) \times C(2{,}2)

De onde vem cada valor: C(7,3)C(7{,}3) = passo 1: 35 · C(4,2)C(4{,}2) = passo 2: 6 · C(2,2)C(2{,}2) = passo 3: 1

Total=35×6×1=210Total = 35 \times 6 \times 1 = \boxed{210}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2! ou 3! para 'descontar' a ordem dos quartos, achando que são indistinguíveis — mas o enunciado diz que são diferentes, então não se divide.

Resposta: 210 distribuições distintas — alternativa D

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