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Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — FGV 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
fg167959
Banca
FGV
Órgão
MPE RJ
Ano
2025
Cargo
Ana ( )
Seja\,N=643x+1\dfrac{64}{3x+1} A soma dos valores inteiros de x para os quais o valor de N também é inteiro é
  1. A18.
  2. B15.
  3. C12.
  4. D10.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Soma = 12, alternativa C.

A ideia por trás

Um número inteiro d divide outro inteiro n quando a divisão n ÷ d é exata, ou seja, deixa resto zero. Isso significa que existe um inteiro k tal que n = k · d. No caso de uma fração como 64/(3x+1), ela só é inteira se o denominador dividir o numerador exatamente.

Para que 64/(3x+1) seja inteiro, o denominador 3x+1 deve ser um divisor inteiro de 64. Os divisores de um número são todos os inteiros que o dividem exatamente, tanto positivos quanto negativos. Como 64 = 2^6, seus divisores positivos são as potências de 2 de 2^0 até 2^6: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. E os negativos são os mesmos com sinal trocado.

Esta questão exige listar todos os divisores inteiros de 64 (positivos e negativos), resolver a equação 3x+1 = d para cada divisor d, e somar apenas os valores de x que forem inteiros. O desafio é não esquecer os divisores negativos.

O que a questão dá

  • N = 64 / (3x + 1)

  • x é inteiro

  • N deve ser inteiro

O que queremos: a soma dos valores inteiros de x que tornam N inteiro

Passo 1 — Listar os divisores inteiros de 64

Para que a fração 64/(3x+1) seja inteira, o denominador precisa ser um divisor de 64. Então o primeiro passo é conhecer todos os divisores inteiros de 64, tanto positivos quanto negativos, porque x pode ser negativo e o denominador também.

Por que esta fórmula: 64 = 2^6, então seus divisores positivos são as potências de 2 de 2^0 a 2^6: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Os divisores negativos são os mesmos com sinal negativo.

D(64)={±1,±2,±4,±8,±16,±32,±64}D(64) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64 \}

De onde vem cada valor: 6464 = enunciado: numerador da fração

±1,±2,±4,±8,±16,±32,±64\boxed{±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32, ±64}
NÃO CAIA NESSA!

Listar apenas os divisores positivos, esquecendo que x pode ser negativo e o denominador também.

Passo 2 — Resolver 3x+1 = d para cada divisor

Cada divisor d do passo 1 é um candidato a denominador. Para cada um, precisamos achar o x correspondente e verificar se ele é inteiro.

Por que esta fórmula: A equação 3x+1 = d vem diretamente da condição de N inteiro: o denominador deve ser igual a um divisor de 64. Isolamos x para ver se ele é inteiro.

x=d−13x = \frac{d - 1}{3}

De onde vem cada valor: dd = passo 1: cada divisor de 64 · 33 = enunciado: coeficiente de x no denominador

x=d−13x = \frac{d - 1}{3}

xx = valores de x para cada d

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de verificar se x é inteiro; por exemplo, d=2 dá x=1/3, que não serve.

Passo 3 — Testar cada divisor e achar x inteiro

Agora aplicamos a fórmula do passo 2 a cada divisor. Só interessam os casos em que x é inteiro, pois o enunciado pede valores inteiros de x.

Por que esta fórmula: Substituímos cada d da lista e calculamos x. Se o resultado for inteiro, ele conta; se não, descartamos.

x=0 ,1,5,21,−1,−3,−11x = \boxed{0\ , 1, 5, 21, -1, -3, -11}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir d=2 (x=1/3) ou d=-1 (x=-2/3) por engano, sem verificar se x é inteiro.

Passo 4 — Somar os valores de x encontrados

A questão pede a soma dos valores inteiros de x que funcionam. Já temos todos eles, então basta somar.

Por que esta fórmula: Soma direta dos números encontrados no passo 3.

S=0+1+5+21+(−1)+(−3)+(−11)S = 0 + 1 + 5 + 21 + (-1) + (-3) + (-11)

De onde vem cada valor: 0,1,5,21,−1,−3,−110, 1, 5, 21, -1, -3, -11 = passo 3: valores de x que tornam N inteiro

S=0+1+5+21−1−3−11=12S = 0 + 1 + 5 + 21 - 1 - 3 - 11 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir os valores negativos, o que daria soma 27, que não está nas alternativas.

Resposta: Soma = 12, alternativa C

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